Шипачев В.С., Курс высшей математики: Учебник для вузов
серия: Естественные науки
Оникс, 2009 г., 978-5-488-00925-7, 978-5-488-02067-2
Описание книги
Учебник состоит из трех частей: часть I - \"Анализ функций одной переменной\", II - \"Анализ функций нескольких переменных\", III - \"Ряды. Дифференциальные уравнения\". Материал изложен в доступной форме и сопровождается большим количеством примеров и задач.
Для студентов нематематических факультетов, а также для аспирантов и преподавателей вузов.
Рекомендовано Научно-методическим советом Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебника для студентов вузов.
Поделиться ссылкой на книгу
Содержание книги
ПРЕДИСЛОВИЕ
ВВЕДЕНИЕ
Часть I. АНАЛИЗ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Глава 1. ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
§ 1. Множества. Обозначения
§ 2. Вещественные числа и их основные свойства
§ 3. Грани числовых множеств
§ 4. Абсолютная величина числа
Глава II ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
§ 1. Числовые последовательности
1. Числовые последовательности и
арифметические действия над ними. (19).
2. Ограниченные и неограниченные
последовательности (22).
3. Бесконечно большие и бесконечно малые
последовательности (23).
4. Основные свойства бесконечно малых
последовательностей (24)
§ 2. Сходящиеся последовательности
1. Понятие сходящейся последовательности (26).
2. Основные свойства сходящихся
последовательностей (28).
3. Предельный переход в неравенствах (32)
§ 3. Монотонные последовательности
1. Определение и признак сходимости монотонных
последовательностей (33).
2. Число е (35)
§ 4. Теорема о вложенных отрезках
Глава III АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА
ПЛОСКОСТИ
§ 1. Прямоугольная система координат
§ 2. Простейшие задачи аналитической геометрии
на плоскости
1. Расстояние между двумя точками (40).
2. Площадь треугольника (41).
3. Деление отрезка в данном отношении (42)
§ 3. Полярные координаты
§ 4. Преобразование прямоугольных координат
1. Параллельный сдвиг осей (47).
2. Поворот осей координат (48)
§ 5. Линии и их уравнения
§ 6. Линии первого порядка
1. Уравнение прямой с угловым
коэффициентом (S3).
2. Уравнение прямой, проходящей через
данную точку, с данным угловым коэффициентом
(55).
3. Уравнение прямой, проходящей через две
данные точки (55).
4. Угол между двумя прямыми (56).
5. Условия параллельности и перпендикулярности
двух прямых (57).
6. Общее уравнение прямой (57).
7. Неполное уравнение первой степени. Уравнение
прямой "в отрезках" (58).
8. Нормальное уравнение прямой. Расстояние от
точки до прямой (60).
§ 7. Линии второго порядка
1. Эллипс (64).
2. Гипербола (68).
3. Директрисы эллипса и гиперболы (74).
4. Парабола (77)
§ 8. Общее уравнение линии второго порядка
1. Приведение общего уравнения линии второго
порядка к простейшему виду (81).
2. Инвариантность выражения АС-В^2.
Классификация линий второго порядка (83)
Глава IV. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§ 1. Понятие функции
1. Определение функции (87).
2. Способы задания функций (88).
3. Классификация функций (90)
$ 2. Предел функции
§ 3. Теоремы о пределах функций
§ 4. Два замечательных предела.
§ 5. Бесконечно малые и бесконечно большие
функции
§ 6. Сравнение бесконечно малых и бесконечно
больших функций
§ 7. Понятие непрерывности функции
1. Определение непрерывности функции (107).
2. Арифметические действия над непрерывными
функциями (109)
§ 8. Непрерывность некоторых элементарных
функций
1. Непрерывность рациональных функций (109).
2. Непрерывность тригонометрических функций
(110).
3, Непрерывность функции (х) = | х | (111)
§ 9. Классификация точек разрыва функции
1. Определение и классификация точек
разрыва функции (112).
2. Кусочно-непрерывные функции (113)
§ 10. Основные свойства непрерывных функций
1. Теорема об устойчивости знака
непрерывной функции (114).
2. Прохождение непрерывной функции через
любое промежуточное значение (114). 3. Теорема
об ограниченности непрерывной функции на
отрезке (117).
4. Теорема о достижении функцией, непрерывной
на отрезке, своих точных граней
(118). 5. Понятие равномерной непрерывности
функции (120).
6. Теорема о равномерной непрерывности функции
(122)
§ 11. Понятие сложной функции
§ 12. Понятие обратной функции
1. Определение обратной функции (126)
2. Теорема о непрерывности обратной функции
(127)
Глава V. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
$ 1.Понятие производной
1. Определение производной (131).
2. Геометрический смысл производной (132).
3. Физический смысл производной (133).
4. Правая и левая производные (134)
§2. Понятие дифференцируемости функции
1. Понятие дифференцируемости функции в данной
точке (134).
2. Связь между понятиями дифференцируемости и
непрерывности (135)
§ 3. Понятие дифференциала
1. Определение и геометрический смысл
дифференциала (136).
2. Приближенные вычисления с помощью
дифференциала (138)
§ 4. Правила дифференцирования суммы, разности,
произведения и частного
§5. Вычисление производных постоянной,
степенной, тригонометрических функций и
логарифмической функции
1. Производная постоянной функции (141)
2. Производная степенной функции (141).
3. Производные тригонометрических функций
(142).
4. Производная логарифмической функции (143)
§ 6. Теорема о производной обратной функции
§ 7. Вычисление производных показательной
функции и обратных тригонометрических функций
1. Производная показательной функции (146).
2. Производные обратных тригонометрических
функций (146)
§ 8. Правило дифференцирования сложной функции
§ 9. Логарифмическая производная. Производная
степенной функции с любым вещественным
показателем. Таблица производных простейших
элементарных функций
1. Понятие логарифмической производной
функции (149).
2. Производная степенной функции с любым
вещественным показателем (150).
3. Таблица производных простейших элементарных
функций (151)
§ 10. Производные и дифференциалы высших
порядков
1. Понятие производной n-го порядка (152).
2. n-е производные некоторых функций (132).
3. Формула Лейбница для n-й производной
произведения двух функций (154).
4. Дифференциалы высших порядков (157)
§11. Параметрическое представление функции и ее
дифференцирование
Глава VI. ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ
§ 1. Основные теоремы дифференциального
исчисления
I. Теорема Ферма (162)
II. Теорема Ролля (163)
III. Теорема Лагранжа (164)
IV. Теорема Коши (166)
§ 2. Раскрытие неопределенностей. Правило
Лопиталя
§ 3. Формула Тейлора.
1. Теорема Тейлора (173)
2. Другая запись формулы Тейлора и остаточного
члена (175)
3. Формула Маклорена (176)
4. Разложение некоторых элементарных функций
по формуле Маклорена (176)
5. Использование формулы Маклорена для
вычисления пределов (179)
§ 4. Геометрическое исследование поведения
функций
1. Признак монотонности функции (180)
2. Отыскание точек локального экстремума
функции (180)
3. Направление выпуклости и точки перегиба
графика функции (183)
4. Асимптоты графика функции (189)
5. Схема исследования графика функции (193)
§ 5. Приближенные методы вычисления корней
уравнений
1. Метод "вилки" (196)
2. Метод касательных (197)
Глава VII. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
§ 1. Первообразная и неопределенный интеграл
1. Понятие первообразной функции (201)
2. Неопределенный интеграл (202)
§ 2. Основные свойства неопределенного
интеграла
§ 3. Таблица основных интегралов
§ 4. Основные методы интегрирования
1. Непосредственное интегрирование (205)
2. Метод подстановки (206)
3. Метод интегрирования по частям (209)
§ 5. Интегрирование рациональных функций
Глава VIII. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. Определение определенного интеграла
§ 2. Условия существования определенного
интеграла
1. Ограниченность интегрируемой функции (220)
2. Суммы Дарбу (221)
3. Свойства сумм Дарбу (223)
4. Необходимое и достаточное условие
интегрируемости (225)
§ 3. Интегрируемость непрерывных и некоторых
разрывных функций
§ 4. Основные свойства определенного интеграла.
§ 5. Оценки интегралов. Формула среднего
значения
1. Оценки интегралов (232)
2. Формула среднего значения (234)
§ 6. Определенный интеграл с переменным верхним
пределом
§ 7. Формула Ньютона - Лейбница
§ 8. Замена переменной в определенном интеграле
§ 9. Формула интегрирования по частям в
определенном интеграле
§ 10. Некоторые физические и геометрические
приложения определенного интеграла
1. Площадь криволинейной трапеции (244)
2. Площадь криволинейного сектора (248)
3. Длина дуги кривой (250)
4. Объем тела вращения (254).
5. Площадь поверхности вращения (256)
6. Работа переменной силы (260)
§11. Несобственные интегралы
1. Несобственные интегралы с бесконечными
пределами интегрирования (262)
2. Несобственные интегралы от неограниченных
функций (265)
3. Признак сходимости несобственных интегралов
(266)
4. Пример использования несобственного интеграла
(268)
§ 12. Приближенное вычисление определенных
интегралов
Часть П. АНАЛИЗ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ
ПЕРЕМЕННЫХ
Глава IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В
ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. Точка и координаты
§2. Понятие вектора
1. Скалярные и векторные величины (277)
2. Определение вектора (278)
3. Проекция вектора на ось (279)
4. Проекции вектора на оси координат (280)
5. Направляющие косинусы вектора (282)
§ 3. Линейные операции над векторами и их
основные свойства
§ 4. Теоремы о проекциях векторов
§ 5. Разложение вектора по базису
§ 6. Скалярное произведение и его основные
свойства
§ 7. Векторное произведение и его основные
свойства
§ 8. Смешанное произведение трех векторов
§ 9. Уравнения поверхности и линии
§ 10. Уравнение цилиндрической поверхности
§ 11..Уравнения плоскости
1. Общее уравнение плоскости (308)
2. Угловые соотношения (310)
3. Нормальное уравнение плоскости (311)
§ 12. Уравнения прямой
1. Канонические уравнения прямой (315)
2. Параметрические уравнения прямой (317)
3. Угловые соотношения (318)
4. Расстояние от точки до прямой (318)
§ 13. Прямая и плоскость
1. Условия параллельности и
перпендикулярности (319)
2. Угол между прямой и плоскостью (320)
§ 14. Поверхности второго порядка
1. Эллипсоид (320)
2. Однополостный гиперболоид (322)
3. Двухполостный гиперболоид (322)
4. Эллиптический параболоид (325)
5. Гиперболический параболоид (326)
6. Конус второго порядка (328)
7. Заключительные замечания (330)
Глава X. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ
§ 1. Матрицы
1. Определение матрицы (330)
2. Свойства матриц (332)
§ 2. Определители
1. Определение определителя (336)
2. Свойства определителей (337)
§ 3. Матричная запись системы линейных
уравнений. Понятие обратной матрицы
§ 4. Решение и исследование системы трех
уравнений первой степени с тремя неизвестными
Глава XI ПОНЯТИЕ, ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1. Понятие функции нескольких переменных
1. Вводные замечания (353)
2. Определение функции двух и более переменных
(354)
§ 2. Геометрическое изображение функции двух
переменных
§ 3. Предел функции двух переменных
§4. Непрерывность функции двух переменных
1. Определение непрерывности функции двух
переменных (361)
2. Основные свойства непрерывных функций двух
переменных (363)
Глава XII. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ
ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1. Частные производные
§ 2. Понятие дифференцируемости функции
1. Определение дифференцируемости (366)
2. Необходимые условия дифференцируемости
(367)
3. Достаточные условия дифференцируемости
(368)
§ 3. Производные сложных функций
§ 4. Дифференциал
1. Определение (374)
2. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
Геометрический смысл дифференциала (376)
§ 5. Производная по направлению. Градиент
§ 6. Частные, производные и дифференциалы
высших порядков
1. Частные производные высших порядков (381)
2. Дифференциалы высших порядков (384)
§ 7. Формула Тейлора для функции двух
переменных
§ 8. Экстремумы функции двух переменных
I. Определение экстремума (389)
2. Необходимые условия экстремума (389)
3. Остаточные условия экстремума (390)
§ 9. Метод наименьших квадратов
Глава XIII. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
§ 1. Двойные интегралы
1. Определение и существование двойного
интеграла (397)
2. Геометрический смысл двойного
интеграла (400)
3. Свойства двойного интеграла (403)
§ 2. Сведение двойного интеграла к повторному
1. Случай прямоугольной области (402)
2. Случай криволинейной области (404)
§ 3. Замена переменных в двойном интеграле
§ 4. Некоторые геометрические и физические
приложения двойных интегралов
1. Вычисление объемов (411)
2. Вычисление площадей (412)
3. Вычисление площади поверхности (414)
4. Вычисление массы пластинки (417)
5. Вычисление координат центра масс пластинки
(418)
6. Вычисление момента инерции пластинки (420)
§ 5. Криволинейные интегралы
1. Определение криволинейного интеграла
первого рода (422)
2. Вычисление криволинейных интегралов
первого рода (425)
3. Определение криволинейного интеграла
второго рода (427)
4. Вычисление криволинейных интегралов
второго рода (431)
5. Связь между криволинейными
интегралами первого и второго рода(434)
§ 6. Формула Грина
§ 7. Условия независимости криволинейного
интеграла от пути интегрирования
§ 8. Интегрирование полных дифференциалов
§ 9. Некоторые приложения криволинейных
интегралов второго рода
1. Вычисление площади с помощью формулы
Грина (449)
2. Работа силы (450)
§ 10. Тройные интегралы
1. Определение тройного интеграла (453)
2. Вычисление тройных интегралов (454)
3. Замена переменных в тройном интеграле (457)
4. Некоторые приложения тройных интегралов
(460)
§ 11. Поверхностные интегралы
1. Определение поверхностного интеграла
первого рода (462)
2. Вычисление поверхностных интегралов
первого рода (464)
3. Определение поверхностного интеграла
второго рода (466)
4. Вычисление поверхностных интегралов
второго рода (470)
5. Связь между поверхностными
интегралами первого и второго рода (473)
§ 12. Формула Остроградского
§ 13. Формула Стокса
§ 14. Скалярное и векторное поля. Понятие
потенциального поля
1. Скалярное поле (484)
2. Векторное поле (484)
3. Потенциальное поле (484)
4. Задача о потоке векторного поля (486)
Часть III. РЯДЫ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Глава XIV. РЯДЫ
§ 1. Понятие числового ряда
1. Основные определения (489)
2. Свойства сходящихся рядов (492)
3. Необходимое условие сходимости ряда (494)
§ 2. Ряды с неотрицательными членами
§ 3. Знакочередующиеся ряды
§ 4. Абсолютная и условная сходимость рядов
§ 5. Степенные ряды
1. Определение и общие замечания (507)
2. Интервал сходимости степенного ряда (508)
3. Свойства степенных рядов (512)
4. Разложение функций в степенные ряды (513)
§ 6. Комплексные ряды
1. Краткие сведения о комплексных числах (522)
2. Числовые ряды с комплексными членами (528)
3. Степенные ряды с комплексными членами (529)
4. Формулы Эйлера (531)
§ 7. Ряды Фурье
1. Тригонометрический ряд и его основные
свойства (533)
2. Ряд Фурье (535)
3. Сходимость ряда Фурье (537)
4. Ряды Фурье для четных и нечетных функций
(537)
5. Ряд Фурье для функции с периодом 2l (540)
Глава XV. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
§ 1. Дифференциальные уравнения первого
порядка
1. Определение дифференциального уравнения
первого порядка (543)
2. Решение уравнения. Задача Коши (544)
3. Общее и частное решения уравнения (545)
4. Геометрический смысл уравнения (547)
5. Уравнения с разделяющимися переменными (549)
6. Линейные уравнения (550)
7. Уравнение в полных дифференциалах (552)
8. Приближенное решение дифференциальных
уравнений первого порядка методом Эйлера (554)
9. Некоторые применения дифференциальных
уравнений первого порядка(557)
§ 2. Дифференциальные уравнения второго
порядка
1. Основные понятия (562)
2. Уравнения второго порядка, допускающие
понижение порядка (563)
3. Дифференциальные уравнения высших порядков
(565)
§ 3. Линейные дифференциальные уравнения
второго порядка
1. Основные понятия (567)
2. Линейные однородные дифференциальные
уравнения второго порядка (568)
3. Линейные неоднородные дифференциальные
уравнения второго порядка (573)
§ 4. Линейные дифференциальные уравнения
второго порядка с постоянными коэффициентами
1. Линейные однородные дифференциальные
уравнения второго порядка с постоянными
коэффициентами (577)
2. Линейные неоднородные дифференциальные
уравнения второго порядка с
постоянными коэффициентами (580)
§ 5. Применение линейных дифференциальных
уравнений к изучению колебательных явлений
ВВЕДЕНИЕ
Часть I. АНАЛИЗ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Глава 1. ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
§ 1. Множества. Обозначения
§ 2. Вещественные числа и их основные свойства
§ 3. Грани числовых множеств
§ 4. Абсолютная величина числа
Глава II ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
§ 1. Числовые последовательности
1. Числовые последовательности и
арифметические действия над ними. (19).
2. Ограниченные и неограниченные
последовательности (22).
3. Бесконечно большие и бесконечно малые
последовательности (23).
4. Основные свойства бесконечно малых
последовательностей (24)
§ 2. Сходящиеся последовательности
1. Понятие сходящейся последовательности (26).
2. Основные свойства сходящихся
последовательностей (28).
3. Предельный переход в неравенствах (32)
§ 3. Монотонные последовательности
1. Определение и признак сходимости монотонных
последовательностей (33).
2. Число е (35)
§ 4. Теорема о вложенных отрезках
Глава III АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА
ПЛОСКОСТИ
§ 1. Прямоугольная система координат
§ 2. Простейшие задачи аналитической геометрии
на плоскости
1. Расстояние между двумя точками (40).
2. Площадь треугольника (41).
3. Деление отрезка в данном отношении (42)
§ 3. Полярные координаты
§ 4. Преобразование прямоугольных координат
1. Параллельный сдвиг осей (47).
2. Поворот осей координат (48)
§ 5. Линии и их уравнения
§ 6. Линии первого порядка
1. Уравнение прямой с угловым
коэффициентом (S3).
2. Уравнение прямой, проходящей через
данную точку, с данным угловым коэффициентом
(55).
3. Уравнение прямой, проходящей через две
данные точки (55).
4. Угол между двумя прямыми (56).
5. Условия параллельности и перпендикулярности
двух прямых (57).
6. Общее уравнение прямой (57).
7. Неполное уравнение первой степени. Уравнение
прямой "в отрезках" (58).
8. Нормальное уравнение прямой. Расстояние от
точки до прямой (60).
§ 7. Линии второго порядка
1. Эллипс (64).
2. Гипербола (68).
3. Директрисы эллипса и гиперболы (74).
4. Парабола (77)
§ 8. Общее уравнение линии второго порядка
1. Приведение общего уравнения линии второго
порядка к простейшему виду (81).
2. Инвариантность выражения АС-В^2.
Классификация линий второго порядка (83)
Глава IV. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§ 1. Понятие функции
1. Определение функции (87).
2. Способы задания функций (88).
3. Классификация функций (90)
$ 2. Предел функции
§ 3. Теоремы о пределах функций
§ 4. Два замечательных предела.
§ 5. Бесконечно малые и бесконечно большие
функции
§ 6. Сравнение бесконечно малых и бесконечно
больших функций
§ 7. Понятие непрерывности функции
1. Определение непрерывности функции (107).
2. Арифметические действия над непрерывными
функциями (109)
§ 8. Непрерывность некоторых элементарных
функций
1. Непрерывность рациональных функций (109).
2. Непрерывность тригонометрических функций
(110).
3, Непрерывность функции (х) = | х | (111)
§ 9. Классификация точек разрыва функции
1. Определение и классификация точек
разрыва функции (112).
2. Кусочно-непрерывные функции (113)
§ 10. Основные свойства непрерывных функций
1. Теорема об устойчивости знака
непрерывной функции (114).
2. Прохождение непрерывной функции через
любое промежуточное значение (114). 3. Теорема
об ограниченности непрерывной функции на
отрезке (117).
4. Теорема о достижении функцией, непрерывной
на отрезке, своих точных граней
(118). 5. Понятие равномерной непрерывности
функции (120).
6. Теорема о равномерной непрерывности функции
(122)
§ 11. Понятие сложной функции
§ 12. Понятие обратной функции
1. Определение обратной функции (126)
2. Теорема о непрерывности обратной функции
(127)
Глава V. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
$ 1.Понятие производной
1. Определение производной (131).
2. Геометрический смысл производной (132).
3. Физический смысл производной (133).
4. Правая и левая производные (134)
§2. Понятие дифференцируемости функции
1. Понятие дифференцируемости функции в данной
точке (134).
2. Связь между понятиями дифференцируемости и
непрерывности (135)
§ 3. Понятие дифференциала
1. Определение и геометрический смысл
дифференциала (136).
2. Приближенные вычисления с помощью
дифференциала (138)
§ 4. Правила дифференцирования суммы, разности,
произведения и частного
§5. Вычисление производных постоянной,
степенной, тригонометрических функций и
логарифмической функции
1. Производная постоянной функции (141)
2. Производная степенной функции (141).
3. Производные тригонометрических функций
(142).
4. Производная логарифмической функции (143)
§ 6. Теорема о производной обратной функции
§ 7. Вычисление производных показательной
функции и обратных тригонометрических функций
1. Производная показательной функции (146).
2. Производные обратных тригонометрических
функций (146)
§ 8. Правило дифференцирования сложной функции
§ 9. Логарифмическая производная. Производная
степенной функции с любым вещественным
показателем. Таблица производных простейших
элементарных функций
1. Понятие логарифмической производной
функции (149).
2. Производная степенной функции с любым
вещественным показателем (150).
3. Таблица производных простейших элементарных
функций (151)
§ 10. Производные и дифференциалы высших
порядков
1. Понятие производной n-го порядка (152).
2. n-е производные некоторых функций (132).
3. Формула Лейбница для n-й производной
произведения двух функций (154).
4. Дифференциалы высших порядков (157)
§11. Параметрическое представление функции и ее
дифференцирование
Глава VI. ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ
§ 1. Основные теоремы дифференциального
исчисления
I. Теорема Ферма (162)
II. Теорема Ролля (163)
III. Теорема Лагранжа (164)
IV. Теорема Коши (166)
§ 2. Раскрытие неопределенностей. Правило
Лопиталя
§ 3. Формула Тейлора.
1. Теорема Тейлора (173)
2. Другая запись формулы Тейлора и остаточного
члена (175)
3. Формула Маклорена (176)
4. Разложение некоторых элементарных функций
по формуле Маклорена (176)
5. Использование формулы Маклорена для
вычисления пределов (179)
§ 4. Геометрическое исследование поведения
функций
1. Признак монотонности функции (180)
2. Отыскание точек локального экстремума
функции (180)
3. Направление выпуклости и точки перегиба
графика функции (183)
4. Асимптоты графика функции (189)
5. Схема исследования графика функции (193)
§ 5. Приближенные методы вычисления корней
уравнений
1. Метод "вилки" (196)
2. Метод касательных (197)
Глава VII. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
§ 1. Первообразная и неопределенный интеграл
1. Понятие первообразной функции (201)
2. Неопределенный интеграл (202)
§ 2. Основные свойства неопределенного
интеграла
§ 3. Таблица основных интегралов
§ 4. Основные методы интегрирования
1. Непосредственное интегрирование (205)
2. Метод подстановки (206)
3. Метод интегрирования по частям (209)
§ 5. Интегрирование рациональных функций
Глава VIII. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. Определение определенного интеграла
§ 2. Условия существования определенного
интеграла
1. Ограниченность интегрируемой функции (220)
2. Суммы Дарбу (221)
3. Свойства сумм Дарбу (223)
4. Необходимое и достаточное условие
интегрируемости (225)
§ 3. Интегрируемость непрерывных и некоторых
разрывных функций
§ 4. Основные свойства определенного интеграла.
§ 5. Оценки интегралов. Формула среднего
значения
1. Оценки интегралов (232)
2. Формула среднего значения (234)
§ 6. Определенный интеграл с переменным верхним
пределом
§ 7. Формула Ньютона - Лейбница
§ 8. Замена переменной в определенном интеграле
§ 9. Формула интегрирования по частям в
определенном интеграле
§ 10. Некоторые физические и геометрические
приложения определенного интеграла
1. Площадь криволинейной трапеции (244)
2. Площадь криволинейного сектора (248)
3. Длина дуги кривой (250)
4. Объем тела вращения (254).
5. Площадь поверхности вращения (256)
6. Работа переменной силы (260)
§11. Несобственные интегралы
1. Несобственные интегралы с бесконечными
пределами интегрирования (262)
2. Несобственные интегралы от неограниченных
функций (265)
3. Признак сходимости несобственных интегралов
(266)
4. Пример использования несобственного интеграла
(268)
§ 12. Приближенное вычисление определенных
интегралов
Часть П. АНАЛИЗ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ
ПЕРЕМЕННЫХ
Глава IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В
ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. Точка и координаты
§2. Понятие вектора
1. Скалярные и векторные величины (277)
2. Определение вектора (278)
3. Проекция вектора на ось (279)
4. Проекции вектора на оси координат (280)
5. Направляющие косинусы вектора (282)
§ 3. Линейные операции над векторами и их
основные свойства
§ 4. Теоремы о проекциях векторов
§ 5. Разложение вектора по базису
§ 6. Скалярное произведение и его основные
свойства
§ 7. Векторное произведение и его основные
свойства
§ 8. Смешанное произведение трех векторов
§ 9. Уравнения поверхности и линии
§ 10. Уравнение цилиндрической поверхности
§ 11..Уравнения плоскости
1. Общее уравнение плоскости (308)
2. Угловые соотношения (310)
3. Нормальное уравнение плоскости (311)
§ 12. Уравнения прямой
1. Канонические уравнения прямой (315)
2. Параметрические уравнения прямой (317)
3. Угловые соотношения (318)
4. Расстояние от точки до прямой (318)
§ 13. Прямая и плоскость
1. Условия параллельности и
перпендикулярности (319)
2. Угол между прямой и плоскостью (320)
§ 14. Поверхности второго порядка
1. Эллипсоид (320)
2. Однополостный гиперболоид (322)
3. Двухполостный гиперболоид (322)
4. Эллиптический параболоид (325)
5. Гиперболический параболоид (326)
6. Конус второго порядка (328)
7. Заключительные замечания (330)
Глава X. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ
§ 1. Матрицы
1. Определение матрицы (330)
2. Свойства матриц (332)
§ 2. Определители
1. Определение определителя (336)
2. Свойства определителей (337)
§ 3. Матричная запись системы линейных
уравнений. Понятие обратной матрицы
§ 4. Решение и исследование системы трех
уравнений первой степени с тремя неизвестными
Глава XI ПОНЯТИЕ, ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1. Понятие функции нескольких переменных
1. Вводные замечания (353)
2. Определение функции двух и более переменных
(354)
§ 2. Геометрическое изображение функции двух
переменных
§ 3. Предел функции двух переменных
§4. Непрерывность функции двух переменных
1. Определение непрерывности функции двух
переменных (361)
2. Основные свойства непрерывных функций двух
переменных (363)
Глава XII. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ
ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1. Частные производные
§ 2. Понятие дифференцируемости функции
1. Определение дифференцируемости (366)
2. Необходимые условия дифференцируемости
(367)
3. Достаточные условия дифференцируемости
(368)
§ 3. Производные сложных функций
§ 4. Дифференциал
1. Определение (374)
2. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
Геометрический смысл дифференциала (376)
§ 5. Производная по направлению. Градиент
§ 6. Частные, производные и дифференциалы
высших порядков
1. Частные производные высших порядков (381)
2. Дифференциалы высших порядков (384)
§ 7. Формула Тейлора для функции двух
переменных
§ 8. Экстремумы функции двух переменных
I. Определение экстремума (389)
2. Необходимые условия экстремума (389)
3. Остаточные условия экстремума (390)
§ 9. Метод наименьших квадратов
Глава XIII. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
§ 1. Двойные интегралы
1. Определение и существование двойного
интеграла (397)
2. Геометрический смысл двойного
интеграла (400)
3. Свойства двойного интеграла (403)
§ 2. Сведение двойного интеграла к повторному
1. Случай прямоугольной области (402)
2. Случай криволинейной области (404)
§ 3. Замена переменных в двойном интеграле
§ 4. Некоторые геометрические и физические
приложения двойных интегралов
1. Вычисление объемов (411)
2. Вычисление площадей (412)
3. Вычисление площади поверхности (414)
4. Вычисление массы пластинки (417)
5. Вычисление координат центра масс пластинки
(418)
6. Вычисление момента инерции пластинки (420)
§ 5. Криволинейные интегралы
1. Определение криволинейного интеграла
первого рода (422)
2. Вычисление криволинейных интегралов
первого рода (425)
3. Определение криволинейного интеграла
второго рода (427)
4. Вычисление криволинейных интегралов
второго рода (431)
5. Связь между криволинейными
интегралами первого и второго рода(434)
§ 6. Формула Грина
§ 7. Условия независимости криволинейного
интеграла от пути интегрирования
§ 8. Интегрирование полных дифференциалов
§ 9. Некоторые приложения криволинейных
интегралов второго рода
1. Вычисление площади с помощью формулы
Грина (449)
2. Работа силы (450)
§ 10. Тройные интегралы
1. Определение тройного интеграла (453)
2. Вычисление тройных интегралов (454)
3. Замена переменных в тройном интеграле (457)
4. Некоторые приложения тройных интегралов
(460)
§ 11. Поверхностные интегралы
1. Определение поверхностного интеграла
первого рода (462)
2. Вычисление поверхностных интегралов
первого рода (464)
3. Определение поверхностного интеграла
второго рода (466)
4. Вычисление поверхностных интегралов
второго рода (470)
5. Связь между поверхностными
интегралами первого и второго рода (473)
§ 12. Формула Остроградского
§ 13. Формула Стокса
§ 14. Скалярное и векторное поля. Понятие
потенциального поля
1. Скалярное поле (484)
2. Векторное поле (484)
3. Потенциальное поле (484)
4. Задача о потоке векторного поля (486)
Часть III. РЯДЫ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Глава XIV. РЯДЫ
§ 1. Понятие числового ряда
1. Основные определения (489)
2. Свойства сходящихся рядов (492)
3. Необходимое условие сходимости ряда (494)
§ 2. Ряды с неотрицательными членами
§ 3. Знакочередующиеся ряды
§ 4. Абсолютная и условная сходимость рядов
§ 5. Степенные ряды
1. Определение и общие замечания (507)
2. Интервал сходимости степенного ряда (508)
3. Свойства степенных рядов (512)
4. Разложение функций в степенные ряды (513)
§ 6. Комплексные ряды
1. Краткие сведения о комплексных числах (522)
2. Числовые ряды с комплексными членами (528)
3. Степенные ряды с комплексными членами (529)
4. Формулы Эйлера (531)
§ 7. Ряды Фурье
1. Тригонометрический ряд и его основные
свойства (533)
2. Ряд Фурье (535)
3. Сходимость ряда Фурье (537)
4. Ряды Фурье для четных и нечетных функций
(537)
5. Ряд Фурье для функции с периодом 2l (540)
Глава XV. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
§ 1. Дифференциальные уравнения первого
порядка
1. Определение дифференциального уравнения
первого порядка (543)
2. Решение уравнения. Задача Коши (544)
3. Общее и частное решения уравнения (545)
4. Геометрический смысл уравнения (547)
5. Уравнения с разделяющимися переменными (549)
6. Линейные уравнения (550)
7. Уравнение в полных дифференциалах (552)
8. Приближенное решение дифференциальных
уравнений первого порядка методом Эйлера (554)
9. Некоторые применения дифференциальных
уравнений первого порядка(557)
§ 2. Дифференциальные уравнения второго
порядка
1. Основные понятия (562)
2. Уравнения второго порядка, допускающие
понижение порядка (563)
3. Дифференциальные уравнения высших порядков
(565)
§ 3. Линейные дифференциальные уравнения
второго порядка
1. Основные понятия (567)
2. Линейные однородные дифференциальные
уравнения второго порядка (568)
3. Линейные неоднородные дифференциальные
уравнения второго порядка (573)
§ 4. Линейные дифференциальные уравнения
второго порядка с постоянными коэффициентами
1. Линейные однородные дифференциальные
уравнения второго порядка с постоянными
коэффициентами (577)
2. Линейные неоднородные дифференциальные
уравнения второго порядка с
постоянными коэффициентами (580)
§ 5. Применение линейных дифференциальных
уравнений к изучению колебательных явлений
Об авторе
Последние поступления в рубрике "Тематика определяется"
 |
Математика. Подготовка к ЕГЭ. Задачи с параметрами.10-11 классы
В предлагаемом пособии представлен обширный материал, посвященный двум заключительным и сложным темам ЕГЭ профильного уровня: задачам с параметрами и числам и их свойствам. На многочисленных примерах с подробными решениями и обоснованиями (как и требуется на экзамене) показаны различные методы и решения задач.... |
|
План счетов бухгалтерского учета с последними изменениями
Читателю предлагается самая последняя редакция Плана счетов бухгалтерского учета финансово-хозяйственной деятельности организаций и инструкции по его применению с учетом последних приказов Минфина РФ. План счетов - это важнейший инструмент бухгалтерского учета, настольная книга для каждого практического бухгалтера.... |
|
На ферме. Книжка с наклейками
Игры с наклейками - занятие не только интересное, но и полезное. С этой книгой малыш познакомится с различными видами транспорта, потренируется решать простые логические задачки и находить соответствия.... |
Если Вы задавались вопросами "где найти книгу в интернете?", "где купить книгу?" и "в каком книжном интернет-магазине нужная книга стоит дешевле?", то наш сайт именно для Вас. На сайте книжной поисковой системы Книгопоиск Вы можете узнать наличие книги Шипачев В.С., Курс высшей математики: Учебник для вузов в интернет-магазинах. Также Вы можете перейти на страницу понравившегося интернет-магазина и купить книгу на сайте магазина. Учтите, что стоимость товара и его наличие в нашей поисковой системе и на сайте интернет-магазина книг может отличаться, в виду задержки обновления информации.
