ПРЕДИСЛОВИЕ......3ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА......5СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ МЕРЫ И ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА......8ЧАСТЬ I. ПРОСТРАНСТВА......19РАЗДЕЛ 1. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА......191.1. Понятия метрики и метрического пространства......191.2. Множества в метрических пространствах. Примеры метрических пространств......271.3. Сходящиеся и фундаментальные последовательности. Полные метрические пространства......361.4. Свойства полных метрических пространств......501.5. Пополнение метрических пространств. Сепарабельные пространства......581.6. Компактные множества......631.7. Непрерывные отображения метрических пространств. Сжимающие отображения......71РАЗДЕЛ 2. ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА......872.1. Линейные пространства......872.2. Нормированные пространства......952.3. Ряды в линейных нормированных пространствах......1042.4. Пространства lp (1 p )
c
c0 и Ca
b......1072.5. Линейные подпространства и плотные множества......1162.6. Предкомпактные множества......1262.7. Пространства Lp(
d)
1 p ......1372.8. Полнота пространств Lp(
d) при 1 p ......1532.9. Плотные множества в Lp(
d)
1 p ......1562.10. Предкомпактные множества в L2 (X)......164Дополнение. Базисы в линейных пространствах......171РАЗДЕЛ 3. ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА......1753.1. Пространства со скалярным произведением......1753.2. Проекции векторов в гильбертовых пространствах......1843.3. Ортогональные дополнения и их свойства......1863.4. Ряды Фурье в гильбертовых пространствах......1963.5. Базисы в гильбертовых пространствах......202ЧАСТЬ II. ОПЕРАТОРЫ......217РАЗДЕЛ 1. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ ОГРАНИЧЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ......2171.1. Понятие линейного ограниченного оператора
его норма......2171.2. Пространство линейных ограниченных операторов......2421.3. Последовательности операторов......2451.4. Дополнительные задачи и утверждения......2601.5. Образы шаров в банаховых пространствах......274РАЗДЕЛ 2. СОПРЯЖЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА......2782.1. Функционалы в гильбертовых пространствах......2782.2. Функционалы в нормированных пространствах......2812.3. Продолжение линейных функционалов......2952.4. Общий вид линейного ограниченного функционала в пространстве Ca
b......3082.5. Слабая и -слабая сходимости......3202.6. Рефлексивные пространства. Двойственность......3352.7. Сопряженные операторы......342Дополнение. Комплексный вариант теоремы Хана-Банаха. Слабая замкнутость выпуклого множества......355РАЗДЕЛ 3. ЭЛЕМЕНТЫ СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ......3573.1. Обратные операторы......3573.2. Замкнутые операторы......3743.3. Резольвентное множество и спектр оператора......3803.4. Вполне непрерывные операторы......4093.5. Фредгольмовы операторы......4333.6. Спектры самосопряженных и вполне непрерывных операторов......441Дополнение. Линейные интегральные уравнения......460Рекомендуемая литература......478