Учебное пособие предназначено для студентов физико-математических специальностей высших учебных заведений. Книга содержит следующие разделы: векторные пространства, матрицы и определители, системы линейных уравнений, векторные пространства со скалярным умножением, линейные отображения и линейные операторы. В основу положен многолетний опыт ведения профессиональной и преподавательской деятельности предмета \"Линейная алгебра\", курсы лекций, которые каждый из авторов читал на математическом факультете Московского педагогического государственного университета.

Рекомендовано Учебно-методическим центром.

Глава 1. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
§ 1. Основные понятия
Внешнее умножение
Понятие векторного пространства
Примеры векторных пространств
Свойства векторных пространств
Понятие подпространства
Примеры подпространств векторных пространств
Линейная оболочка системы векторов
§ 2. Линейно зависимые и линейно независимые
системы векторов
Линейно зависимые системы и их свойства
Свойства линейно независимых систем
Примеры линейно независимых систем
Элементарные преобразования систем векторов
§ 3. Базис и размерность векторного пространства
Базис векторного пространства
Размерность векторного пространства
Примеры конечномерных пространств
Системы векторов в n-мерном векторном пространстве
Примеры бесконечномерных пространств
Координаты вектора в данном базисе
Базис системы векторов
Базис подпространства и базис пространства
§ 4. Суммы и прямые суммы подпространств
Сумма подпространств
Формула Грассмана
Прямая сумма подпространств
Базис прямой суммы
§ 5. Изоморфизм векторных подпространств
Глава 2. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
§ 1. Матрицы и действия над ними
Понятие матрицы
Линейные действия над матрицами
Умножение матриц
Умножение матрицы на столбец как отображение
арифметических пространств
Транспонирование матриц
§ 2. Элементарные преобразования матриц
Элементарные преобразования матриц
и элементарные матрицы
Приведение матрицы к ступенчатому виду
Строчечный ранг
и ступенчатый вид матрицы
§ 3. Обратимые матрицы
Представление квадратной матрицы
в виде произведения элементарных
Получение обратной матрицы с помощью
элементарных преобразований
§ 4. Подстановки
Транспозиции и циклы
Четность и нечетность подстановки
§ 5. Определители квадратных матриц
Определители малых порядков
Простейшие свойства определителя
Основные свойства определителя
Определитель произведения матриц
§ 6. Миноры и алгебраические дополнения
Разложение определителя по строке или столбцу
Присоединенная матрица
Глава 3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Метод Гаусса.
Традиционная и матричная запись
системы линейных уравнений
Преобразования системы линейных уравнений.
Метод Гаусса
Критерий совместности
§ 2. Ранг матрицы
Столбцовый ранг
Совпадение рангов
Теорема о ранге матрицы
§ 3. Однородные и неоднородные системы
линейных уравнений
Пространство решений однородной системы
Стандартный способ получения
фундаментальной системы решений
Связь между решениями неоднородной
и соответствующей однородной систем линейных
уравнений
Задание подпространства как пространства решений
однородной системы.
§ 4.Системы линейных уравнений
с квадратной матрицей
Матричные уравнения
Метод Крамера
Однородные системы линейных уравнений
с квадратной матрицей
Глава 4. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
СО СКАЛЯРНЫМ УМНОЖЕНИЕМ
§ 1. Скалярное умножение и его свойства.
Свойства скалярного умножения.
Примеры
§ 2. Ортогональные системы векторов,
процесс ортогонализации
§ 3. Ортогональное дополнение к подпространству
§ 4. Евклидовы векторные пространства
Примеры
Свойства нормы вектора
Свойства ортонормированного базиса
§ 5. Изоморфизм евклидовых пространств
Глава 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ И ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
§ 1. Линейные отображения и линейные операторы
векторных пространств
§ 2. Ядро и образ линейного оператора
§ 3. Представление линейных операторов матрицами
Матрица линейного оператора
§ 4. Матрица линейного оператора относительно
различных базисов
Связь между координатными столбцами вектора
относительно различных базисов
Связь между матрицами линейного оператора
относительно различных базисов
§ 5. Собственные векторы и собственные значения
линейного оператора
Собственный базис линейного оператора
Линейные операторы с простым спектром
Условия, при которых матрица линейного оператора
подобна диагональной матрице
Собственные векторы и собственные значения
произвольной квадратной матрицы
§ 6. Линейная алгебра линейных операторов
Линейные алгебры
Линейная алгебра операторов
векторного пространства
Изоморфизм алгебры линейного оператора
и полной матричной алгебры
Литература