Эта книга — завершающая часть учебника «Математика в экономике». Первые две части (2007 г.) содержали изложение линейной алгебры и математического анализа и их приложений в экономике. В данное издание включены, помимо глав, в которых рассматривается теория вероятностей и математическая статистика, две главы прикладного характера, посвященные портфельному анализу и опционам.br/Для преподавателей и студентов экономических вузов, бизнес-школ, а также для всех, кто интересуется современной финансовой теорией.

Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации.

Предисловие......9Глава 1. Основные понятия и простейшие формулы......11§ 1.1. Классическое определение вероятности......11§ 1.2. Алгебра случайных событий......13§ 1.3. Элементы комбинаторики......20§ 1.4. Некоторые примеры вычисления вероятностей......31§ 1.5. Теорема сложения вероятностей......37§ 1.6. Аксиомы теории вероятностей......40§ 1.7. Некоторые типы вероятностных пространств......47§ 1.8. Условная вероятность......51§ 1.9. Независимые события и правило умножения вероятностей......55§ 1.10. Формула полной вероятности и формула Байеса......63Глава 2. Схема Бернулли......68§ 2.1. Схема Бернулли. Вероятности Р„(к)......68§ 2.2. Наиболее вероятное число успехов. Среднее число успехов......73§ 2.3. Вероятности Ря(к) при больших значениях л. Приближенные формулы Лапласа......76§ 2.4. Статистическое определение вероятности......85§ 2.5. Предельная теорема и приближенные формулы Пуассона......88Глава 3. Случайные величины и законы распределения ....92§ 3.1. Описательный подход к понятию случайной величины......92§ 3.2. Свойства функции распределения......94§ 3.3. Дискретные случайные величины......99§ 3.4. Примеры типичных законов распределения дискретных величин......102§ 3.5. Пуассоновский поток событий......105§ 3.6. Системы случайных величин......110§ 3.7. Независимые случайные величины......111§ 3.8. Функция от случайной величины. Действия над случайными величинами......114Глава 4. Числовые характеристики дискретных случайных величин......119§ 4.1. Математическое ожидание случайной величины......119§ 4.2. Свойства математического ожидания......122§ 4.3. Дисперсия случайной величины......127§ 4.4. Дисперсия суммы случайных величин. Ковариация......132§ 4.5. Числовые характеристики типичных законов распределения......134§ 4.6. Производящие функции......139Глава 5. Непрерывные случайные величины и типичные законы распределения......144§ 5.1. Непрерывные и абсолютно непрерывные случайные величины......144§ 5.2. Типичные законы распределения......149§ 5.3. Числовые характеристики непрерывных случайных величин......159Глава б. Начальные и центральные моменты случайных величин......169§ 6.1. Определение и основные свойства......169§ 6.2. Вычисление моментов. Производящие функции......172§ 6.3. Моменты высших порядков и числовые характеристики законов распределения......176Глава 7. Случайные векторы (многомерные случайные величины)......181§ 7.1. Случайные векторы......181§ 7.2. Дискретные случайные векторы......185§ 7.3. Абсолютно непрерывные случайные векторы......187§ 7.4. Независимость компонент случайного вектора......189§ 7.5. Числовые характеристики случайного вектора......189§ 7.6. Системы п случайных величин......194§ 7.7. Равномерное распределение......196§ 7.8. Условные распределения и условные математические ожидания......200§ 7.9. Функциональные преобразования случайных векторов......208Глава 8. Функции от случайных величин......211§ 8.1. Функции от случайной величины......211§ 8.2. Закон распределения суммы двух случайных величин......214Глава 9. Нормальное распределение на плоскости......227§ 9.1. Определение и основные свойства......227§ 9.2. Условные нормальные распределения......231§ 9.3. Геометрическая интерпретация двумерного нормального закона......233§ 9.4. Многомерный нормальный закон......234Глава 10. Закон больших чисел......236§ 10.1. Неравенство Чебышева......236§ 10.2. Различные формы закона больших чисел......240Глава 11. Центральная предельная теорема......246§ 11.1. Характеристические функции......246§ 11.2. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых......249§ 11.3. Центральная предельная теорема в общем случае......254§ 11.4. Применение центральной предельной теоремы......256Глава 12. Цепи Маркова......261§ 12.1. Определение цепи Маркова. Примеры марковских цепей......261§ 12.2. Многошаговые вероятности перехода. Предельные вероятности......267Глава 13. Портфельный анализ......273§ 13.1. Портфель ценных бумаг и его свойства......273§ 13.2. Однофакторная модель доходности......279§ 13.3. Рыночная модель и диверсификация......283§ 13.4. Структура эффективного множества......287§ 13.5. Безрисковое получение и предоставление займов......299§ 13.6. Модель оценки финансовых активов......305Глава 14. Опционы......309§ 14.1. Общие сведения......309§ 14.2. Виды опционов......309§ 14.3. Доход от опциона......311§ 14.4. Хеджирование......313§ 14.5. Цена опциона......313§ 14.6. Биномиальная однопериодная модель......315§ 14.7. Двухпериодная биномиальная модель......319§ 14.8. Многопериодная модель......321§ 14.9. Идентификация модели......323§ 14.10. Формула Блэка - Шоулза......325§ 14.11. Анализ формулы Блэка - Шоулза......328§ 14.12. Определение волатильности акции......329§ 14.13. Определение цены опциона пут......331Глава 15. Статистика конечной совокупности......334§ 15.1. Основные эмпирические характеристики......334§ 15.2. Вариационный ряд и эмпирические квантили......337§ 15.3. Распределение частот......339§ 15.4. Эмпирический коэффициент корреляции......340§ 15.5. Межгрупповая дисперсия......343§ 15.6. Интервальные характеристики признака......347§ 15.7. Разложение в ряд по центральным моментам среднего значения дифференцируемой функции......352§ 15.8. Повторные и бесповторные выборки......355§ 15.9. Выборочная доля признака......360§ 15.10. Пропорциональная выборка......363Глава 16. Точечные оценки параметров распределения......366§ 16.1. Выборки из распределения......366§ 16.2. Точечные статистические оценки......369§ 16.3. Состоятельные оценки и метод моментов......374§ 16.4. Метод максимального правдоподобия......381§ 16.5. Неравенство Рао - Крамера......384Глава 17. Интервальные статистические оценки......389§ 17.1. Понятие доверительного интервала......3......89§ 17.2. Построение доверительного интервала методом центральной статистики......391§ 17.3. Квантили и процентные точки стандартных статистических распределений......392§ 17.4. Интервальная оценка математического ожидания нормального распределения......395§ 17.5. Интервальная оценка дисперсии нормального распределения......402§ 17.6. Приближенная доверительная оценка генерального среднего и доли......406§ 17.7. Интервал предсказания......409Глава 18. Статистическая проверка гипотез......412§ 18.1. Виды статистических гипотез и общая схема статистического критерия......412§ 18.2. Лемма Неймана - Пирсона......415§ 18.3. Проверка гипотезы об определенном значении параметра нормального распределения......417§ 18.4. Р-значение критерия......421§ 18.5. Сравнение генеральных средних нормальных распределений......424§ 18.6. Сравнение дисперсий двух нормальных распределений......429§ 18.7. Критерий согласия хи-квадрат......432§ 18.8. Проверка гипотезы о виде генерального распределения по критерию хи-квадрат......439§ 18.9. Критерий Колмогорова......444§ 18.10. Проверка непараметрических гипотез однородности......446§ 18.11. Проверка гипотезы о совпадении нескольких генеральных средних методом дисперсионного анализа......451Приложение. Статистические таблицы......454Рекомендуемая литература......462