Книга является тринадцатым выпуском серии учебников "Математика в техническом университете". Последовательно изложены математические модели физических процессов, элементы прикладного функционального анализа и приближенные аналитические методы решения задач математической физики, а также широко применяемые в научных исследованиях и инженерной практике численные методы конечных разностей, конечных и граничных элементов. Рассмотрены примеры использования этих методов в прикладных задачах. Содержание учебника соответствует курсам лекций, которые авторы читают в МГТУ им. Н.Э.Баумана. Для студентов технических университетов. Может быть полезен преподавателям, аспирантам и инженерам.

Часть I. Математические модели физических
процессов
1. Основные физические субстанции
1.1. Особенности постановки задач
математической физики
1.2. Плотность физических субстанций
1.3. Перенос физических субстанций
Д. 1.1. Некоторые формулы векторного анализа
2. Законы сохранения физических субстанций
2.1. Закон сохранения массы
2.2. Дивергентная форма уравнения
неразрывности
2.3. Законы сохранения электрического заряда и
тепловой энергии
2.4. Закон сохранения количества движения
Д.2.1. Формулы векторного анализа в случае
неоднородной среды
3. Математические модели некоторых сред
3.1. Модели идеальной жидкости (газа)
3.2. Модели вязкой жидкости
3.3. Упругое твердое тело
3.4. Уравнение переноса энергии в среде
3.5. Уравнения Максвелла
3.6. Электромагнитные процессы в медленно
движущейся среде
Д.3.1. Поверхности разрыва в электромагнитном
поле
Д.3.2. Примеры задач, описываемых
интегральными уравнениями
Часть II. Элементы функционального анализа и
приближенные аналитические методы
4. Нормированные пространства и операторы
4.1. Нормированные пространства
4.2. Операторы в нормированных пространствах
4.3. Линейные операторы
4.4. Линейные ограниченные функционалы
4.5. Нормированное пространство линейных
операторов
4.6. Спектр линейного оператора
4.7. Пополнение нормированного пространства
5. Операторы в гильбертовых пространствах
5.1. Гильбертово пространство
5.2. Операторы и функционалы в гильбертовом
пространстве
5.3. Энергетическое пространство
5.4. Однородное операторное уравнение
5.5. Уравнения с вполне непрерывными
симметрическими операторами
Д.5.1. Сопряженные пространства и сопряженные
операторы
Д.5.2. Критерий базисности системы функций
Д.5.3. Положительная определенность
эллиптического оператора
6. Приближенные аналитические методы
6.1. Общая схема построения приближенных
методов
6.2. Погрешности приближенных методов
6.3. Метод малого параметра
6.4. Общий случай метода малого параметра
6.5. Метод ортогональных проекций
6.6. Коллокации в подобластях и точках
6.7. Метод наименьших квадратов
6.8. Методы Бубнова - Галеркина и Ритца
6.9. Задачи на собственные значения
6.10. Особенности выбора базисных функций
Д.6.1. Проекционный метод
Часть III. Сеточные методы
7. Основы метода конечных разностей
7.1. Понятие о сеточных методах
7.2. Аппроксимация производных конечными
разностями
7.3. Метод баланса
7.4. Пример простейшей разностной схемы
8. Одномерные краевые задачи
8.1. Разностные схемы для стационарных задач
8.2. Задача Штурма - Лиувилля
8.3. Нестационарная задача теплопроводности
8.4. Некоторые динамические задачи
Д.8.1. Модификации метода прогонки
9. Многомерные задачи
9.1. Особенности решения многомерных задач
9.2. Двумерная и трехмерная задачи
теплопроводности
9.3. Различные многомерные задачи
Д.9.1. Алгоритмы матричной и ортогональной
прогонок
Часть IV. Методы конечных и граничных
элементов
10. Основы метода конечных элементов
10.1. Одномерная краевая задача
10.2. Типы конечных элементов
10.3. Матричная форма представления функций
11. Прикладные задачи
11.1. Особенности применения метода конечных
элементов
11.2. Задачи теплопроводности в твердом теле
11.3. Двумерное течение вязкой жидкости
11.4. Задачи теории упругости
11.5. Электромагнитное поле в цилиндрическом
волноводе
12. Введение в метод граничных элементов
12.1. Граничные интегральные уравнения
12.2. Способы аппроксимации функций на границе
12.3. Учет анизотропии и неоднородности
12.4. Нестационарные задачи
12.5. Статическая задача теории упругости
12.6. Сравнение методов граничных и конечных
элементов
Д.12.1. Особенности решения осесимметричных
задач