Изложены основы теории вероятностей и математической статистики, широко используемые в медицине и здравоохранении. Наряду с классическими разделами подробно представлены такие весьма актуальные разделы, как непараметрические критерии, временные ряды, анализ выживаемости и др. Основной акцент сделан на аналитические методы исследования. Теоретический материал проиллюстрирован многочисленными примерами анализа данных из области медицины и здравоохранения. Большое внимание уделено выводам и интерпретации результатов расчета.
Для студентов и аспирантов, обучающихся по медицинским специальностям и специальности "Прикладная Математика и Информатика", а также для медицинских работников и Организаторов здравоохранения. Может быть полезно для исследователей в других областях знаний.

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации.

Предисловие......9Введение......11Глава 1. Случайные события......131.1. О теории вероятностей......131.2. Основные понятия и определения......161.3. Понятие о вероятности случайного события......201.4. Классическое определение вероятности......221.5. Элементы комбинаторики......231.6. Вероятность суммы событий. Противоположные события......331.7. Условная вероятность. Зависимые и независимые события......361.8. Формула полной вероятности. Формула Байеса......421.9. Геометрическая вероятность......481.10. Статистическое определение вероятности......511.11. Понятие об аксиоматическом построении теории вероятностей......551.12. Последовательность независимых испытаний. Формула Бернулли......571.13. Приближенные формулы, используемые в схеме Бернулли......641.13.1. Приближенная формула Пуассона......641.13.2. Локальная теорема Муавра-Лапласа......681.14. Функция Лапласа. Интегральная теорема Муавра-Лапласа......691.15. Теорема Бернулли (закон больших чисел)......761.16. Цепи Маркова......79Задачи и упражнения......86Глава 2. Случайные величины......932.1. Понятия и определения......932.2. Закон распределения случайной величины. Функция распределения вероятностей......952.3. Дискретные случайные величины и их числовые характеристики......1012.4. Биномиальное распределение......1112.5. Распределение Пуассона......1152.6. Примеры применения биномиального и пуассоновского распределений......1172.7. Некоторые дискретные распределения......1252.7.1. Вырожденное распределение......1262.7.2. Дискретное равномерное распределение......1262.7.3. Геометрическое распределение......1282.7.4. Отрицательное биномиальное распределение (распределение Паскаля)......1282.7.5. Гипергеометрическое распределение......1302.7.6. Распределение Пойа (Полна)......1312.9. Равномерное распределение на отрезке......1372.10. Нормальное распределение......1402.11. Числовые характеристики распределений......1442.12. Некоторые непрерывные распределения......1462.12.1. Показательное распределение......1472.12.2. Двойное показательное распределение......1492.12.3. Распределение Шарлье......1512.12.4. Гамма-распределение......1522.12.5. Распределение типа гиперболического косинуса......1532.12.6. Распределение типа гиперболического синуса......1562.12.7. Логарифмически нормальное (логнормальное) распределение......158Задачи и упражнения......160Глава 3. Системы случайных величин......1653.1. Функция распределения и плотность распределения системы случайных величин......1653.2. Зависимые и независимые случайные величины......1683.3. Моменты системы случайных величин. Ковариация......1693.4. Свойства моментов......1723.4.1. Свойства математического ожидания......1723.4.2. Свойства дисперсии......1733.4.3. Свойства корреляционных моментов......1743.5. Независимость и некоррелированность случайных величин. Коэффициент корреляции......1743.6. Система двух дискретных случайных величин......1773.7. Функции случайных величин......1793.7.1. Линейная функция одной случайной величины......1803.7.2. Линейная функция двух случайных величин......1823.7.3. Произведение двух случайных величин......1833.7.4. Частное от деления двух случайных величин......1833.8. Специальные распределения......1843.8.1. Распределение Пирсона (распределение )......1843.8.2. Распределение Стьюдента (if/i-распределение)......1863.8.3. Распределение Фишера (iF/i-распределение)......1873.9. Условное распределение. Регрессия. Среднеквадратическая регрессия......1883.10. Предельные теоремы......1943.10.1. Закон больших чисел......1953.10.2. Центральная предельная теорема......198Задачи и упражнения......199Глава 4. Выборочный метод......2034.1. Предмет и задачи......2034.2. Основные понятия выборочного метода......2044.3. Выборочное распределение и его характеристики......2064.4. Преобразования выборок......2124.5. Графический метод представления статистических данных......2154.6. Методика выравнивания статистических рядов......2184.7. Критерии согласия......2224.8. Приближенная проверка гипотезы о нормальном распределении......225Задачи и упражнения......228Глава 5. Оценки параметров распределения......2325.1. Особенности малых выборок. Точечные оценки......2325.2. Точечные оценки для математического ожидания и дисперсии......2365.3. Распределения некоторых статистик......2405.4. Интервальные оценки. Доверительные интервалы......2455.5. Построение доверительных интервалов для математического ожидания......2465.6. Доверительные интервалы для дисперсии......2535.7. Доверительный интервал для разности средних......2595.8. Оценка вероятности по частоте......2625.9. Ошибка выборки. Оптимальная численность выборки......267Задачи и упражнения......271Глава 6. Проверка статистических гипотез......2756.1. Статистическая гипотеза......2756.2. Статистические критерии......2786.3. Сравнение дисперсий двух нормальных генеральных совокупностей......2826.4. Проверка гипотезы о равенстве неизвестной дисперсии конкретному значению......2876.5. Сравнение средних двух нормальных генеральных совокупностей при известных дисперсиях......2926.6. Критерий Стьюдента. Сравнение средних двух нормальных генеральных совокупностей при неизвестных одинаковых дисперсиях......2986.7. Сравнение выборочной средней с известной величиной. Наблюдения до и после эксперимента......3046.8. Мощность критерия......3116.8.1. Уровень значимости......3116.8.2. Величина различий (параметр нецентральности)......3136.8.3. Объем выборки......3166.9. Проверка гипотез о вероятности в схеме Бернулли (одна генеральная совокупность)......3196.10. Проверка гипотез о вероятности в схеме Бернулли (две сравниваемые генеральные совокупности)......3246.11. Таблицы сопряженности и критерий ......3296.12. Критерий для показателя смертности с учетом возрастных параметров......3356.13. Критерий Кочрена сравнения дисперсий нескольких нормальных генеральных совокупностей......3386.14. Критерий Бартлетта сравнения дисперсий нескольких генеральных совокупностей......340Задачи и упражнения......342Глава 7. Дисперсионный анализ. Множественные сравнения......3507.1. Основные понятия дисперсионного анализа......3507.2. Суммы квадратов отклонений. Общая, факторная и остаточная дисперсии......3537.3. Однофакторный дисперсионный анализ......3577.4. Однофакторный дисперсионный анализ в случае разного числа испытаний на различных уровнях......3627.5. Схема двухфакторного дисперсионного анализа......3667.6. Множественные сравнения. Критерий Стьюдента с поправкой Бонферрони......3717.7. Критерий Ньюмена-Кейлса......375Задачи и упражнения......378Глава 8. Анализ зависимостей......3858.1. Типы зависимостей случайных величин......3858.2. Выборочный коэффициент корреляции......3888.3. Проверка независимости признаков......3928.4. Проверка гипотезы о силе линейной связи двух признаков......3948.5. Выборочная регрессия......3968.6. Параметры выборочного уравнения регрессии при линейной зависимости......4008.7. Проверка гипотез о параметрах уравнения регрессии......4068.8. Использование линейной регрессии в случае нелинейной зависимости......4078.9. Мера корреляционной связи. Выборочное корреляционное отношение......4098.10. Простейшие случаи нелинейной регрессии......4138.11. Модель множественной линейной регрессии......4208.12. Качество моделей множественной регрессии......4298.13. Методика построения модели множественной регрессии......4438.14. Использование регрессионных моделей для прогнозирования......4468.15. Выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена......4508.16. Непараметрические методы оценки корреляционной зависимости......455Задачи и упражнения......459Глава 9. Непараметрические критерии......4659.1. Условия использования критериев......4659.2. Критерий Манна-Уитни (критерий однородности)......4669.3. Критерий Уилкоксона (наблюдения до и после эксперимента)......4749.4. Критерий знаков......4819.5. Критерий Краскела-Уоллиса (проверка однородности нескольких групп)......4849.6. Критерий Фишера (угловое преобразование Фишера)......4879.7. Гипотеза о независимости элементов выборки......4909.7.1. Критерий серий, основанный на медиане......4919.7.2. Критерий «восходящих» и «нисходящих» серий......4939.7.3. Критерий минимумов и максимумов......4959.7.4. Критерий Аббе......496Задачи и упражнения......498Глава 10. Временные ряды......50610.1. Основные понятия......50610.2. Изменение уровней ряда......51210.3. Вычисление средних......52010.4. Выравнивание временных рядов......52710.5. Структура временного ряда......53610.6. Сезонная декомпозиция временного ряда по мультипликативной модели......53710.7. Завершение процесса декомпозиции временного ряда по мультипликативной модели......54310.8. Аддитивная модель временного ряда......54810.9. Проверка адекватности модели временного ряда......55510.10. Оценка точности модели......56110.11. Прогнозирование. Простейшие модели......56910.12. Прогнозирование с учетом сезонности......58110.13. Экспоненциальное сглаживание......58810.13.1. Простое экспоненциальное сглаживание......58910.13.2. Экспоненциальное сглаживание в модели с трендом......59610.13.3. Экспоненциальное сглаживание в модели с трендом и сезонностью......60410.14. Авторегрессионные модели......612Задачи и упражнения......617Глава 11. Анализ выживаемости......62411.1. Вид данных......62411.2. Функция выживания и ее связь с функцией распределения......62511.3. Статистический подход к исследованию выживаемости......62811.4. Расчет выживаемости методом Каплана-Мейера......62911.5. Таблицы времен жизни......63511.6. Сравнение функций выживания. Логранговый критерий......64311.7. Регрессионные модели......650Задачи и упражнения......652Глава 12. Показатели и индексы в оценке общественного и индивидуального здоровья......65612.1. Основные понятия и определения......65612.2. Обзор интегральных показателей оценки здоровья......65912.3. Показатели и соотношения, используемые для оценки физического развития......66212.4. Модели некоторых интегральных показателей оценки здоровья населения......67512.5. Разработка ряда показателей общественного здоровья на основе цепей Маркова......68012.5.1. Вероятностная модель жизни человека......68012.5.2. Прогнозирование средней продолжительности жизни в зависимости от возраста и состояния здоровья......68312.5.3. Прогнозирование средней продолжительности жизни фактического населения......68512.5.4. Показатели, характеризующие состояния здоровья......68812.6. Комплексная оценка общественного здоровья индексным методом......693Приложения......705Глоссарий......766Библиографический список......786Ответы к задачам и упражнениям......791

Медик В.А.
Директор Новгородского научного центра Северо-Западного отделения РАМН, заведующий кафедрой общественного здоровья и общей гигигены института медицинского образования Новгородского государственного университета им. Ярослава Мудрого. Автор научных работ по проблемам общественного здоровья, экономики, управления здравоохранением, медицинской статистики

Токмачев М.С.
Профессор кафедры прикладной математики и информатики Новгородского государственного университета им. Ярослава Мудрого. Автор научных работ по математическому моделированию, теории вероятностей, математической статистике и их приложениям в медицине.