Учебно-методический комплекс по линейной алгебре представляет собой книгу, компакт-диск и интернет-версию. Его особенностью является объединение традиционной, электронной и дистанционной форм образования. Впервые линейная алгебра представлена как семантически структурированная область математики, что, учитывая обширность приведенного материала, позволяет формировать различные по тематике и уровню сложности курсы, обеспечивает быстрый поиск необходимых сведений, а с помощью электронной справочно-поисковой системы, представленной на компакт-диске и в интернет-версии, - визуализацию логических связей между отдельными элементами линейной алгебры. Математическая часть материала построена на использовании матрично-векторного аппарата. Для студентов, аспирантов, преподавателей, научных сотрудников и инженеров.

Рекомендовано Научно-методическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации.

Предисловие
Почему появилась именно эта книга?
ЧАСТЬ I. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ ПО
ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ
1. Множества, элементы, операции
1.1. Вещественные и комплексные числа
1.1.1. Вещественные числа
1.1.2. Геометрическое представление комплексных
чисел
1.1.3. Алгебраическое представление комплексных
чисел
1.1.4. Модуль и сопряжение
1.1.5. Тригонометрическое представление
комплексных чисел
1.1.6. Степени и корни
1.1.7. Общепринятые названия
1.2. Множества и элементы
1.2.1. Множества и операции над ними
1.2.2. Декартово произведение
1.3. Эквивалентность и равенство
1.3.1. Бинарное отношение
1.3.2. Эквивалентность
1.4. Алгебраические операции и их свойства
1.4.1. Алгебраические операции
1.4.2. Обратные операции
1.5. Группы
1.5.1. Общая группа
1.5.2. Подгруппа
1.5.3. Смежные классы
1.5.4. Нормальный делитель
1.5.5. Абелева группа
1.5.6. Конечная группа
1.5.7. Циклическая подгруппа
1.6. Кольца и поля
1.6.1. Кольцо
1.6.2. Делители нуля
1.6.3. Поле и числа
1.7. Линейные пространства
1.7.1. Линейное пространство
1.7.2. Подпространство
1.7.3. Изоморфные пространства
1.7.4. Арифметическое пространство
1.7.5. Естественный базис
1.7.6. Конечномерные и бесконечномерные
пространства
2. Система векторов
2.1. Линейная оболочка и линейная зависимость
2.1.1. Линейная комбинация и оболочка
2.1.2. Линейная зависимость и независимость
2.1.3. Представление одних векторов через другие
2.1.4. Снова конечномерные и бесконечномерные
пространства
2.2. Эквивалентные системы, ранг, базис
2.2.1. Эквивалентные системы
2.2.2. База и ранг системы
2.2.3. Структура арифметического пространства
2.2.4. Структура общего конечномерного
пространства
2.2.5. Базис и координаты
3. Матрицы и операторы
3.1. Конечные суммы и произведения
3.1.1. Конечные суммы
3.1.2. Конечные произведения
3.2. Матрицы и операции над ними
3.2.1. Матрицы
3.2.2. Операции над матрицами
3.2.3. Диагональные матрицы
3.2.4. Перестановочные матрицы
3.2.5. Кольца и линейные пространства
3.2.6. Компактная форма матрицы
3.3. Транспонирование, сопряжение, след матрицы
3.3.1. Транспонирование и сопряжение матрицы
3.4. Элементарные матрицы и преобразования
3.4.1 Матрицы перестановок
3.4.2. Элементарные матрицы масштабирования
3.4.3. Элементарные неунитарные матрицы
3.4.4. Элементарные матрицы и преобразования
3.4.5. Эквивалентность и ранг
3.4.6. Матрицы типа Nr и Mr
3.5. Матрицы специального вида
3.5.1. Треугольные матрицы
3.5.2. Трапециевидные матрицы
3.5.3. Почти треугольные и ленточные матрицы
3.5.4. Профильные матрицы
3.5.5. Блочные матрицы
3.6. Метод Гаусса
3.6.1. Шаги метода Гаусса
3.6.2. Преобразование матрицы к простейшему
виду
3.6.3. Преобразование специальных матриц
3.6.4. Выбор ведущего элемента
3.7. Операторы
3.7.1. Линейные операторы
3.7.2. Матрица линейного оператора
3.7.3. Изоморфизм линейных операторов и матриц
4. Определители
4.1. Определитель и его свойства
4.1.1. Перестановки
4.1.2. Определитель и его простейшие свойства
4.1.3. Определители некоторых матриц
4.1.4. Определитель и линейная зависимость
4.1.5. Вычисление определителя
4.2. Миноры и алгебраические дополнения
4.2.1. Разложение определителя
4.2.2. Определители некоторых блочных матриц
4.2.3. Определитель произведения матриц
4.3. Ранг матрицы
4.3.1. Ранг и независимость
4.3.2. Ранг и ведущие миноры
4.3.3. Матрицы полного и малого ранга
4.3.4. Свойства ранга
4.4. Невырожденные матрицы
4.4.1. Невырожденная или неособенная матрица
4.4.2. Обратная матрица
4.4.3. Вычисление обратной матрицы
4.4.4. Модификация обратной матрицы
4.4.5. Вполне положительные и ассоциированные
матрицы
4.4.6. Симметричные и кососимметричные матрицы
5. Расстояния, углы, объемы
5.1. Скалярное произведение
5.1.1. Евклидово и унитарное пространство
5.1.2. Свойства скалярного произведения
5.1.3. Матричное представление
5.2. Ортогональные и биортогональные системы
векторов
5.2.1. Нормированные и ортогональные векторы
5.2.2. Ортонормированный базис
5.2.3. Биортонормированные системы и базисы
5.2.4. Изоморфизм пространств со скалярным
произведением
5.2.5. Ортогональность и сопряженные матрицы
5.3. Ортогональность на множествах
5.3.1. Ортогональное дополнение
5.3.2. Снова биортонормированные системы и
базисы
5.3.3. Сумма, прямая сумма и пересечение
подпространств
5.3.4. Ортогональная сумма подпространств
5.4. Измерения в линейном пространстве
5.4.1. Длина и расстояние
5.4.2. Угол
5.4.3. Перпендикуляр и проекция
5.4.4. Объем
6. Системы линейных алгебраических уравнений
6.1. Основные понятия и формы записи
6.1.1. Основные понятия и простейшие факты
6.1.2. Матрично-векторная запись
6.1.3. Эквивалентные системы
6.2. Приведение системы к каноническому виду
6.2.1. Метод Гаусса
6.2.2. Каноническая система уравнений
6.3. Основные факты
6.3.1. Теорема Кронекера-Капелли
6.3.2. Общие свойства решений системы
6.3.3. Критерии и формулы
6.4. Альтернатива и теорема Фредгольма
6.4.1. Образ и ядро матрицы
6.4.2. Альтернатива и теорема Фредгольма
6.5. Псевдорешение и псевдообратная матрица
6.5.1. Нормальное решение
6.5.2. Псевдорешение
6.5.3. Нормальное псевдорешение
6.5.4. Псевдообратная матрица
6.6. Свойства псевдообратной матрицы
6.6.1. Столбцы и строки матриц A, A*, A+
6.6.2. Свойства минимальности
6.6.3. Матричное определение A+
6.6.4. Скелетное разложение и матрица A+
6.6.5. Проекторы
6.6.6. Сопряженные системы уравнений
6.7. Линейные многообразия и линейные системы
6.7.1. Плоскость
6.7.2. Гиперплоскость и прямая
6.7.3. Геометрическая интерпретация систем
уравнений
6.8. Матрица и определитель Грама
6.8.1. Проекция на линейную оболочку
6.8.2. Матрица и определитель Грама
6.8.3. Ортогональные системы и определитель
Грама
7. Многочлены
7.1. Многочлены и операции над ними
7.1.1. Группа многочленов
7.1.2. Кольцо многочленов
7.1.3. Деление многочленов
7.2. Основная теорема алгебры
7.2.1. Корни многочленов
7.2.2. Различные представления многочленов
7.2.3. Алгебраически замкнутое поле
7.2.4. Многочлен как функция
7.2.5. Вещественные многочлены
8. Спектральные свойства матриц
8.1. Эквивалентные и подобные матрицы
8.1.1. Преобразование координат
8.1.2. Эквивалентные матрицы
8.1.3. Подобные матрицы
8.2. Спектр матриц
8.2.1. Собственные значения и собственные
векторы
8.2.2. Характеристический многочлен
8.2.3. Кратность собственных значений
8.3. Матрицы простой структуры
8.3.1. Строение матрицы простой структуры
8.3.2. Свойства матрицы простой структуры
8.3.3. Ортогональность в собственных векторах
9. Структура матриц общего вида
9.1. Инвариантные подпространства
9.1.1. Общие свойства инвариантных
подпространств
9.1.2. Критерии инвариантных подпространств
9.1.3. Нахождение инвариантных подпространств
9.2. Подобие треугольной и блочно-диагональной
матрице
9.2.1. Вспомогательные утверждения для общего
случая
9.2.2. Инвариантные подпространства и блочные
матрицы
9.2.3. Вложенные инвариантные подпространства
9.2.4. Подобие треугольной матрице
9.2.5. Подобие блочно-диагональной матрице
9.3. Вещественное подобие блочным матрицам
9.3.1. Вспомогательные утверждения для
вещественного случая
9.3.2. Вещественное подобие блочно-треугольной
матрице
9.3.3. Вещественное подобие блочно-диагональной
матрице
9.4. Матричные многочлены
9.4.1. Кольцо матричных многочленов
9.4.2. Инвариантные, спектральные и другие
свойства
9.4.3. Нильпотентная матрица
9.4.4. Теорема Гамильтона-Кэли
9.5. Каноническая форма Жордана
9.5.1. Многочлены и разложение пространства
9.5.2. Корневые векторы
9.5.3. Высота корневого вектора
9.5.4. Корневой базис Жордана
9.5.5. Каноническая форма Жордана
9.5.6. Некоторые следствия
10. Нормальные матрицы
10.1. Нормальные матрицы общего вида
10.1.1. Простейшие нормальные матрицы
10.1.2. Собственные векторы нормальной матрицы
10.1.3. Инвариантность ортогонального
дополнения
10.1.4. Нормальные матрицы и многочлены
10.2. Унитарные матрицы и преобразования
10.2.1. Унитарные матрицы
10.2.2. Критерии унитарности
10.2.3. Унитарные преобразования
10.2.4. Метрические свойства
10.2.5. Ортогональные матрицы и преобразования
10.3. Эрмитовы и косоэрмитовы матрицы
10.3.1. Эрмитовы матрицы
10.3.2. Критерии эрмитовости
10.3.3. Вещественные симметричные матрицы
10.3.4. Косоэрмитовы матрицы
10.3.5. Вещественные кососимметричные матрицы
10.3.6. Эрмитово разложение матрицы
11. Мультипликативные представления матрицы
11.1. LU-разложение матрицы
11.1.1. Элементарные преобразования и
треугольные матрицы
11.1.2. LU-разложение общей матрицы
11.1.3. LU-разложение профильной матрицы
11.1.4. Блочное LU-разложение
11.1.5. LU-разложение эрмитовой матрицы
11.1.6. Перестановки
11.1.7. Эквивалентные знаковые утверждения
11.2. QR-разложение матрицы
11.2.1. Матрицы вращения
11.2.2. Матрицы отражения
11.2.3. QR-разложение общей матрицы
11.3. Сингулярное разложение матрицы
11.3.1. Сингулярные числа матрицы
11.3.2. Сингулярные базисы матрицы
11.3.3. Сингулярное разложение матрицы
11.3.4. Сингулярное разложение в различных
свойствах
11.4. Другие представления матрицы
11.4.1. Полярное разложение матрицы
11.4.2. Полярное разложение в различных
свойствах
11.4.3. Кронекерово произведение матриц
11.4.4. Спектральные свойства кронекерова
произведения
11.4.5. Специальные кронекеровы произведения
12. Билинейные формы
12.1. Билинейные и эрмитовы билинейные формы
12.1.1. Билинейные формы
12.1.2. Симметричные и кососимметричные
билинейные формы
12.1.3. Эрмитовы билинейные формы
12.1.4. Симметричные и кососимметричные
эрмитовы формы
12.2. Конгруэнтные преобразования
12.2.1. Матрица билинейной формы
12.2.2. Зависимость от выбора базиса
12.2.3. Конгруэнтные матрицы и преобразования
12.2.4. Унитарные конгруэнтные преобразования
12.2.5. Общие конгруэнтные преобразования
12.2.6. Билинейные формы в паре базисов
12.3. Квадратичные формы
12.3.1. Квадратичная и полярная формы
12.3.2. Эрмитова квадратичная форма
12.3.3. Матрица квадратичной формы
12.3.4. Матрица эрмитовой квадратичной формы
12.3.5. Представления через скалярные
произведения
12.4. Закон инерции квадратичных форм
12.4.1. Главные оси и канонические базисы
12.4.2. Закон инерции квадратичных форм
12.4.3. Общий базис пары квадратичных форм
12.5. Знакоопределенные матрицы
12.5.1. Общие свойства знакоопределенных матриц
12.5.2. Спектральные свойства
знакоопределенных матриц
12.5.3. Сохранение знакоопределенности
12.5.4. Матричные неравенства
12.5.5. Квадратный корень из матрицы
12.5.6. Приведение пары эрмитовых матриц
12.5.7. Обобщенная проблема собственных
значений
12.6. Билинейно метрические пространства
12.6.1. Изотропные векторы
12.6.2. Числовые области матриц
12.6.3. Критерии изотропности
12.6.4. Билинейно метрическое пространство
12.6.5. Ортогональность и ортогональное
дополнение
12.6.6. Свойства матрицы и определителя Грама
12.6.7. Нулевые подпространства
12.6.8. Невырожденные пространство и
подпространство
12.6.9. Свойства невырожденного
подпространства
12.7. Ортогональные, псевдоортогональные и
другие базисы
12.7.1. Ортогональный базис
12.7.2. Псевдоортогональный базис
12.7.3. Двойственные, псевдодвойственные и
другие базисы
12.8. Ортогонализация
12.8.1. Общий процесс псевдоортогонализации
12.8.2. Ортогонализация Грама-Шмидта
12.8.3. Псевдодвойственная и двойственная
ортогонализация
12.8.4. Последовательность Крылова и
минимальный многочлен
12.8.5. Трехчленные процессы ортогонализации
13. Векторные и матричные нормы
13.1. Метрическое пространство
13.1.1. Расстояние и предел
13.1.2. Окрестность и замыкание
13.1.3. Полное пространство
13.2. Нормированное пространство
13.2.1. Норма и метрика
13.2.2. Конкретные нормы
13.2.3. Свойства нормы
13.2.4. Сходимость последовательностей
13.2.5. Полнота нормированных пространств
13.2.6. Свойства нормированных пространств
13.3. Матричные нормы
13.3.1. Аддитивная и мультипликативная нормы
13.3.2. Согласованная и подчиненная нормы
13.3.3. Конкретные матричные нормы
13.3.4. Евклидова и спектральная нормы
ЧАСТЬ II. ЛИНЕАЛ - НОВЫЕ ВОЗМОЖНОСТИ
ИЗУЧЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
14. Сведения о компакт-диске с системой ЛИНЕАЛ
14.1. Системные требования
14.2. Архитектура системы
14.3. Порядок работы с энциклопедией
14.4. Что делать, если что-то не работает
15. Небольшие иллюстрации к руководству по
системе ЛИНЕАЛ
15.1. Как узнать, оказывает ли статья А влияние
на появление статьи В
15.2. Что означают уровни сложности статей
15.3. Как строятся графы связей по параграфам и
главам
15.4. Как связаны сложности
параграфа-предшественника и
параграфа-следствия
15.5. Как ознакомиться с содержанием ссылок
15.6. Какие установить метки у статей
15.7. Как увидеть содержание статей
15.8. Какие операции можно проводить с
выборками
15.9. Как выбрать определения из заданной
совокупности статей
15.10. Как подготовить памятные записи по
лекциям
15.11. Как установить связи конкретной статьи с
другими статьями
15.12. Что означает красная кнопка в выборке
структурного указателя
15.13. Что является главным в системе ЛИНЕАЛ
16. Примеры использования системы ЛИНЕАЛ
16.1. Построение расширенного пополнения
16.2. Составление цикла лекций на заданную тему
16.3. Определение узких мест цикла лекций
16.4. Определение ключевых точек цикла лекций
16.5. Оператор и псевдообратная матрица
16.6. Знакомство с первыми двумя разделами
16.7. Вся предметная область и работа с графами
17. Предметный указатель
18. Список литературы