ЧАСТЬ I. Линейные методы и модели в экономике Введение. Экономика и математика......7 Глава 1. Принятие решений в экономике......9 1.1. Моделирование......9 1.2. Математическое моделирование......10 1.3. Алгоритм исследования операции......11 1.4. Примеры исследования операции......17 1.5. Классификация моделей и методов исследования операций......30 Глава 2. Линейное программирование. Теоретические основы и алгоритмы......32 2.1. Постановки ЗЛП......32 2.2. Выпуклые множества......37 2.3. Теоретические основы линейного программирования......44 2.4. Графический метод и анализ решения ЗЛП......58 2.5. Симплекс-метод решения ЗЛП и его обоснование 71 2.6. Двойственный симплекс-метод (P-метод) и его обоснование......85 2.7. Метод искусственного базиса и его обоснование......93 2.8. Модифицированный симплекс-метод......103 2.9. Решение ЗЛП в MS Exel......112 Глава 3. Теория двойственности в линейном программировании и ее экономические приложения......127 3.1. Определение двойственной задачи......127 3.2. Основные теоремы двойственности......133 3.3. Экономическая интерпретация двойственности......142 3.4. Применение теории двойственности к решению задач (получение решения на основании теоремы нежесткости и симплекс-таблицы)......146 3.5. Анализ решения ЗЛП на основе отчетов MS EXCEL......151 Глава 4. Транспортная задача и ее приложения......182 4.1. Постановки задачи......182 4.2. Экономические задачи
сводящие к транспортной задаче......187 4.3. Теорема о разрешимости транспортной задачи......191 4.4. Опорный план ТЗ. Алгоритмы нахождения исходного плана......193 4.5. Метод потенциалов решения транспортной задачи......197 4.6. Задача о назначениях......210 Глава 5. Задача целочисленного линейного программирования......222 5.1. Постановки и методы решения......222 5.2. Метод ветвей и границ решения целочисленных задач линейного программирования (ЦЗЛП)......226 5.3. Задача коммивояжера......241 ЧАСТЬ II. Нелинейные методы и модели в экономике Глава 6. Постановки задачи нелинейного программирования (ЗНП) и основные определения......256 6.1. Задача математического программирования (ЗМП) и ее постановки......256 6.2. Основные определения......257 6.3. Классификация ЗНП......262 6.4. Классическая оптимизация......263 Глава 7. Задача одномерной оптимизации......268 7.1. Постановки задачи. Основные понятия......268 7.2. Поиск отрезка
содержащего точку максимума. Алгоритм Свенна......272 7.3. Методы нулевого порядка......274 7.3.1. Дихотомический поиск (метод деления отрезка пополам)......274 7.3.2. Метод золотого сечения......276 7.3.3. Метод ДСК-Пауэлла......280 7.4. Методы первого порядка......283 7.4.1. Метод средней точки......283 7.4.2. Метод хорд (секущих)......285 7.4.3. Метод кубической аппроксимации......286 7.5. Методы второго порядка. Метод Ньютона-Рафсона......288 Глава 8. Графический метод решения ЗНП......290 8.1. Алгоритм графического метода решения ЗНП......290 8.2. Решение примеров......291 Глава 9. Выпуклые и вогнутые функции......304 9.1. Определения......304 9.2. Свойства вогнутых (выпуклых) функций......305 9.3. Критерии вогнутости (выпуклости) гладких функций......307 9.4. Экстремальные свойства вогнутых (выпуклых) функций......311 9.5. Сильно вогнутые (выпуклые) функции......315 9.5.1. Определение. Примеры......315 9.5.2. Свойства сильно вогнутых (выпуклых) функций......316 9.5.3. Критерии сильной вогнутости (выпуклости)......319 9.5.4. Экстремальные свойства сильно вогнутых (выпуклых) функций......320 Глава 10. Выпуклое программирование......323 10.1. Постановка задачи......323 10.2. Функция Лагранжа. Седловая точка функции Лагранжа
условия ее существования......324 10.3. Достаточные условия оптимальности......329 10.4. Условия регулярности выпуклого множества......330 10.5. Теорема Куна-Таккера. Общий случай......331 10.6. Теорема Куна-Таккера. Случай линейных ограничений......334 Глава 11. Квадратичное программирование......338 11.1 Постановка задачи квадратичного программирования (ЗКП)......338 11.2. Применение теории Куна-Таккера к решению ЗКП......339 11.3. Решение задач......341 Глава 12. Методы безусловной оптимизации......345 12.1. Постановка задачи......345 12.2. Методы нулевого порядка (прямого поиска)......347 12.2.1. Метод Хука-Дживса......347 12.2.2. Метод покоординатного спуска......358 12.3. Методы первого и второго порядков......366 12.3.1. Градиентные методы. Метод скорейшего спуска – метод Коши......367 12.3.2. Метод Ньютона......370 12.3.3. Модифицированный метод Ньютона......372 12.4. Методы
использующие сопряженные направления......373 12.4.1. Определение сопряженных направлений......373 12.4.2. Оптимизация квадратичной функции......375 12.4.3. Метод Пауэлла – метод сопряжённых направлений нулевого порядка......377 12.4.4. Метод Дэвидона-Флетчера-Пауэлла......385 12.4.5. Метод сопряжённых градиентов Флетчера-Ривса......389 Глава 13. Методы условной оптимизации......392 13.1. Постановка задачи. Классификация методов......392 13.2. Методы возможных направлений......395 13.2.1. Метод Зойтендейка......405 13.2.2. Метод Топкиса-Вейнотта......411 13.2.3. Метод Франка-Вульфа......416 Литература......421