ГЛАВА 1. АЛГЕБРА МАТРИЦ......6 1.1. Матрицы. Основные определения......6 1.2. Действия над матрицами......8 1.3. Задания для самостоятельной работы по главе 1......13 ГЛАВА 2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ......15 2.1. Перестановки и подстановки......15 2.2. Определители и их свойства......17 2.3. Миноры и алгебраические дополнения......23 2.4. Вычисление определителей n-го порядка......26 2.5. Задания для самостоятельной работы по главе 2......30 ГЛАВА 3. АЛГЕБРА МАТРИЦ (ПРОДОЛЖЕНИЕ)......33 3.1. Обратная матрица......33 3.2. Ранг матрицы......35 3.3. Линейная зависимость и независимость строк матрицы......39 3.4. Многочленные матрицы......46 3.5. Задания для самостоятельной работы по главе 3......55 ГЛАВА 4. РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ......58 4.1. Система линейных уравнений......58 4.2. Методы решения системы n линейных уравнений с n неизвестными......59 4.3. Теорема Кронекера-Капелли......64 4.4. Метод Жордана-Гаусса......66 4.5. Однородные системы линейных уравнений......79 4.6 Задания для самостоятельной работы по главе 4......84 ГЛАВА 5. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА......88 5.1. Понятие векторного пространства......88 5.2. Линейная зависимость и независимость векторов......92 5.3. Базис векторного пространства......94 5.4. Изоморфизм векторных пространств......98 5.5. Преобразование координат при изменении базиса......98 5.6. Евклидово пространство......103 5.7. Ортогональные преобразования......112 5.8. Выпуклые множества......113 5.9. Задания для самостоятельной работы по главе 5......118 ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ......122 6.1. Определение линейного оператора......122 6.2. Характеристический многочлен и характеристическое уравнение......127 6.3. Собственный вектор и собственное число линейного оператора......132 6.4. Задания для самостоятельной работы по главе 6......139 ГЛАВА 7. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ......142 7.1. Определение квадратичной формы......142 7.2. Линейное преобразование переменных в квадратичной форме......144 7.3. Ортогональное преобразование квадратичной формы к каноническому виду......150 7.4. Положительно определенные квадратичные формы......154 7.5. Задания для самостоятельной работы по главе 7......159 ГЛАВА 8. ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ АЛГЕБРЫ......161 8.1. Алгебраические операции......161 8.2. Полугруппы и моноиды......164 8.3. Группы: определение и примеры......168 8.4. Циклические группы. Группы подстановок......169 8.5. Кольца: определение
свойства
примеры......174 8.6. Поле......177 8.7. Задания для самостоятельной работы по главе 8......179 ГЛАВА 9. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ......181 9.1. Наибольший общий делитель......181 9.2. Наименьшее общее кратное......182 9.3. Простые числа......183 9.4. Сравнения и классы вычетов......184 9.5. Функция Эйлера......187 9.6. Функция Мебиуса......187 9.7. Задания для самостоятельной работы по главе 9......188 СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ......190 Часть 1. Элементы линейной алгебры......190 Часть 2. Элементы общей алгебры......248 Часть 3. Элементы теории чисел......252 Ответы к упражнениям......256 Список литературы......263 Руководство по изучению дисциплины......265