В основе настоящего учебного пособия лежат Государственный образовательный стандарт по специальности 061800 «Математический методы в экономике», результаты многолетнего сотрудничества автора с доктором технический наук, профессором В.Ф. Кротовым на кафедре экономической кибернетики в Московском государственном университете экономики статистики и информатики (МЭСИ) и учебное пособие по расширенному курсу теории оптимального управления (ТОУ). Это пособие давно стало библиографической редкостью, в связи с чем возникла необходимость подготовки данного учебного пособия с учетом накопленного опыта преподавания и происходящих измененийв экономике с учетом новых возможностей использования вычислительной техники.

Предисловие......5 ГЛАВА 1. Математический аппарат теории оптимального управления......9 1.1. Некоторые понятия и определения теории множеств и функций......9 1.2. Оптимизация функций на ограниченном множестве......13 1.3. Зависимость функции и множества
на котором она максимизируется
от параметра......14 1.4. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными......18 1.5. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами......20 1.6. Численное интегрирование систем обыкновенных дифференциальных уравнений......24 Вопросы и задачи для внеаудиторной работы......25 ГЛАВА 2. Основы моделирования экономических процессов......27 2.1. Система
модель......27 2.2. Управление. Обратная связь......29 2.2.1. Общая принципиальная схема управления......30 2.2.2. Иерархия управления......31 2.3. Экономическая система как объект управления (некоторые аспекты математического моделирования)......32 Вопросы для внеаудиторной работы......33 ГЛАВА 3. Оптимизационные модели экономической динамики......35 3.1. Однопродуктовая динамическая макроэкономическая модель......35 3.2. Частные случаи......37 3.3. Однопродуктовая оптимизационная динамическая макроэкономическая модель......38 3.4. Нелинейная оптимизационная модель развития многоотраслевой экономики......39 Вопросы для внеаудиторной работы......40 ГЛАВА 4. Достаточные условия оптимальности......41 4.1. Вспомогательные математические конструкции......41 4.2. Достаточные условия оптимальности для непрерывных процессов......43 4.3. Достаточные условия оптимальности для многошаговых процессов......47 4.4. Обобщенная теорема о достаточных условиях оптимальности......49 4.5. Непосредственное применение достаточных условий оптимальности к решению задач......51 4.5.1. Процессы
линейные по управлению
без ограничений на управление......51 4.5.2. Процессы
линейные по управлению
с ограничениями на управление......56 Вопросы для внеаудиторной работы......57 ГЛАВА 5. Однопродуктовая макроэкономическая модель оптимального развития экономики......59 5.1. Моделирование производства на макроуровне: некоторые свойства производственных функций......59 5.2. Модель развития экономики: магистральная теория......61 Вопросы для внеаудиторной работы......68 ГЛАВА 6. Метод Лагранжа - Понтрягина для непрерывных управляемых процессов......69 6.1. Уравнения метода......69 6.2. Принцип максимума Понтрягина......73 6.3. Принцип максимума как достаточное условие оптимальности......76 6.4. Задача Эйлера вариационного исчисления......81 Задачи для внеаудиторной работы......83 ГЛАВА 7. Метод Лагранжа для многошаговых процессов управления......86 7.1. Уравнения метода. Условия оптимальности для многошагового процесса с неограниченным управлением......86 7.2. Условия оптимальности для многошагового процесса при наличии ограничений на управление......91 Задачи для внеаудиторной работы......95 ГЛАВА 8. Некоторые применения необходимых условий оптимальности в форме Лагранжа – Понтрягина......97 8.1. Цели исследования. Оптимальное управление движущимся объектом......97 8.2. Календарное планирование поставки продукции. Дискретный вариант. Численное решение......101 8.3. Оптимальное планирование поставки продукции. Непрерывный вариант. Численное решение......106 8.4. Оптимальное потребление в однопродуктовой макроэкономической модели......108 Вопросы и задачи для внеаудиторной работы......111 ГЛАВА 9. Метод Гамильтона – Якоби – Беллмана......112 9.1. Идея и основные элементы......112 9.1.1. Уравнение Гамильтона - Якоби - Беллмана. Непрерывный вариант......112 9.1.2. Синтез оптимального управления......114 9.2. Алгоритм Гамильтона - Якоби - Беллмана (для непрерывных процессов)......115 9.3. Метод Гамильтона - Якоби - Беллмана. Многошаговый вариант......120 9.4. Оптимальное распределение инвестиций между проектами методом динамического программирования......123 9.5. Сравнительный анализ методов Лагранжа - Понтрягина и Гамильтона - Якоби – Беллмана......127 Задачи для самостоятельного решения......128 Краткий словарь терминов......129 Литература......132 Предметный указатель......133