Учебное пособие входит в УМК для старших классов наряду с методическим пособием. Изложена как история развития математических идей, так и сами идеи; объясняются не только «теории», но и задачи. Важная цель пособия — помочь повысить уровень понимания и практической подготовки в таких вопросах, как алгебраические уравнения и обращение с многочленами; делимость натуральных чисел и польза от чисел комплексных; применение метода координат и решение задач на построение; интересные и неожиданные примеры и приложения математического анализа. Помочь представить школьную и близкую к нейматематику в контексте культуры и истории — основная задача этой книги.Для учащихся старших классов физико-математического и естественно-научных профилей.

От издательства......6 Предисловие......7 Глава 1. Введение в историю алгебраических уравнений......13 § 1.1. Уравнения квадратные и кубические......13 1.1.1. Истоки алгебры. Геометрия древних греков......13 1.1.2. Квадратные уравнения: решение заменой......16 1.1.3. Долгий путь от геометрии к алгебре......19 1.1.4. Кубические уравнения: упрощение......24 1.1.5*. Теорема о существовании корней многочленов нечетной степени......26 1.1.6. Формула для корней кубических уравнений......30 1.1.7. Как пользоваться формулой Кардано......33 § 1.2. Великое искусство и жизнь Джероламо Кардано......36 1.2.1. По пути к формуле Кардано......36 1.2.2. Вокруг формулы Кардано......42 1.2.3. Тарталья и Феррари. Кардано—человек эпохи......50 § 1.3. Уравнения четвертой степени......57 1.3.1. Упрощение уравнений степени 4......57 1.3.2. О разложении многочленов степени 4......59 1.3.3. Метод Феррари решения уравнений степени 4......61 1.3.4. Метод Декарта решения уравнений степени 4......63 1.3.5. «Великое искусство» — шаг Кардано в алгебру......65 1.3.6. Следующий шаг: искусство Бомбелли......69 § 1.4. Уравнения и многочлены......72 1.4.1. Алгебраические уравнения и многочлены......72 1.4.2. Делимость и разложение многочленов......79 1.4.3*. Разложение многочленов на неприводимые множители......81 1.4.4. О разложении кубических многочленов......83 1.4.5. Деление многочленов на двучлен. Теорема Безу......85 1.4.6. Алгоритмы деления на двучлен. Метод Руффини—Горнера......88 § 1.5. Следствия из теоремы Безу......94 1.5.1. Делимость многочлена на двучлен. Число корней многочлена......94 1.5.2. Формулы сокращенного умножения......99 1.5.3. Метод разложения. Поиск рациональных корней......101 1.5.4. Применение теоремы о корнях к числовым задачам......104 1.5.5. Разложение методом неопределенных коэффициентов......109 1.5.6*. Алгебраическое и функциональное равенство многочленов......112 1.5.7*. Задание многочлена его значениями. Многочлены Лагранжа......114 1.5.8. Жизнь и судьба Лагранжа......119 § 1.6. Аналитическое искусство и жизнь Франсуа Виета......123 1.6.1. Алгебраические новации Виета и его последователей......123 1.6.2. Кубические уравнения у Виета......127 1.6.3. Неприводимый случай кубического уравнения у Виета......128 1.6.4. Графическое исследование кубического уравнения......131 1.6.5. Судьба и королевская карьера Виета......134 § 1.7*. Теорема Виета и комбинаторика......139 1.7.1. Полностью разложимые многочлены. Первые теоремы Виета......139 1.7.2. Решение систем Виета. Пример......142 1.7.3. Комбинаторика перестановок......145 1.7.4. Перестановки с повторениями и системы Виета......148 1.7.5. Комбинаторика сочетаний......152 1.7.6. Комбинаторика размещений. Число перестановок с повторениями......154 1.7.7. Общие система и теорема Виета......158 1.7.8. Формула Ньютона для степени бинома......160 1.7.9. Метод Руффини—Горнера и треугольник Паскаля......163 Глава 2. Предыстория математического анализа......170 § 2.1. Галилей и Декарт. Новая математика......170 2.1.1. Научная революция Нового времени......170 2.1.2. Жизнь Галилея......172 2.1.3. Геометрическая алгебра Декарта......175 2.1.4. Алгебраический метод геометрических построений......180 § 2.2. Координаты. Жизнь и вера Декарта......185 2.2.1. Метод координат Ферма—Декарта......185 2.2.2. Конические сечения в школе......192 2.2.3*. Разрешимые и неразрешимые задачи на построение......198 2.2.4. Жизнь и вера Декарта......209 § 2.3. Задачи на максимум и минимум. Ферма и наука......213 2.3.1. Экстремальные задачи до Ферма......213 2.3.2. Метод Ферма и аналитическая теорема Ферма......225 2.3.3*. Экстремальный принцип Ферма......234 2.3.4. Жизнь и математика Пьера Ферма......252 2.3.5. «Академия» Марена Мерсенна и его числа......254 Упражнения и задания к главе 1......258 О числах Фибоначчи......258 О золотом сечении......259 Многочлены......259 Методы решения уравнений......266 Задачи по комбинаторике (§ 1.7*)......268 Упражнения и задания к главе 2......277 Алгебраические построения......277 Алгебраический метод геометрических построений......277 Построения с тригонометрическими функциями......278 Применения метода координат......278 Нахождение «плоских» геометрических мест (прямых и окружностей)......279 «Телесные» геометрические места (конические сечения)......280 Директрисы и эксцентриситеты произвольных конических сечений......282 О сечениях конических поверхностей......283 Избранные геометрические места точек......286 Равные углы
кратчайшие пути
отражения и бильярдные траектории......288 Оптические свойства конических сечений......290 Ответы и указания к упражнениям и задачам......292 Глава 1......292 Задачи по комбинаторике......295 Глава 2......297 Предметный указатель......310 Именной указатель......317

Земляков А.Н.
Сотрудник Института общего образования РАО, автор учебников, учебных пособий по математике для средней школы.