В пособии, построенном как самоучитель, рассмотрены все типы задач по элементарной алгебре, входящие в школьную программу и программу вступительных экзаменов в вузы. Излагаются не рецепты, а методы решения алгебраических задач: уравнений, неравенств, систем, задач с параметрами и с логическими условиями. При этом основной акцент делается на логике решения задач — на методах равносильных преобразований, позволяющих максимально упростить задачу; на привлечении графических, координатных и прочих наглядных приемов, помогающих, насколько это возможно, избежать ошибок.
Курс призван помочь старшеклассникам систематизировать знания и умения в элементарной алгебре; повысить свою логическую культуру, достичь уверенных навыков в решении стандартных конкурсных задач по алгебре.

От издательства......7 Предисловие......8 Глава 1. Логика алгебраических задач......13 § 1.1. Основные понятия: алгебраические задачи
решения
равносильность......13 1.1.1. Алгебраические задачи как предложения с переменными......13 1.1.2. Равносильность и следование задач......14 1.1.3. Равносильность уравнений и систем с одной переменной......15 1.1.4. Совокупности и системы алгебраических задач......19 1.1.5. Следование уравнений с одной переменной......22 1.1.6. Неравенства с переменной и числовые неравенства......24 § 1.2. Задачи с параметрами и логические алгебраические задачи......26 1.2.1. Что такое задача с параметром......26 1.2.2. Логические задачи с параметрами......29 1.2.3. Логические и кванторные формулировки задач с параметрами......32 1.2.4. Функционально-графическая интерпретация задач с параметрами......36 1.2.5. Координатная интерпретация задач с параметрами......38 Упражнения......41 Глава 2. Многочлены и полиномиальные алгебраические уравнения......43 § 2.1. Корни многочленов. Теорема Безу......43 2.1.1. Числовые кольца и поля. Кольца многочленов......43 2.1.2. Корни многочленов и полиномиальных уравнений......45 2.1.3. Деление многочленов на двучлен. Теорема Безу......49 2.1.4. Алгоритмы деления на двучлен. Метод Руффини—Горнера......52 2.1.5. Делимость многочлена на двучлен. Число корней многочлена......57 2.1.6. Формулы сокращенного умножения......59 2.1.7. Алгебраическое и функциональное равенство многочленов......61 2.1.8. Задание многочлена его значениями. Многочлены Лагранжа......64 § 2.2. Разложение многочленов. Теорема Виета и комбинаторика......69 2.2.1. Полностью разложимые многочлены.Первые теоремы Виета......69 2.2.2. Решение систем Виета. Пример......73 2.2.3. Комбинаторное отступление 1: перестановки......76 2.2.4. Перестановки с повторениями и системы Виета......79 2.2.5. Комбинаторное отступление 2: сочетания......83 2.2.6. Комбинаторное отступление 3: размещения. Число перестановок с повторениями......86 2.2.7. Общие система и теорема Виета......89 2.2.8. Формула Ньютона для степени бинома......92 § 2.3. Уравнения низших степеней......95 2.3.1. Линейная замена переменной в квадратном трехчлене......95 2.3.2. Линейная замена переменной в многочленах......98 2.3.3. Метод Руффини—Горнера и треугольник Паскаля......101 2.3.4. Решение кубических уравнений......107 2.3.5. Графическое исследование кубического уравнения......112 2.3.6. Уравнения степени 4: схема Феррари......115 § 2.4. Уравнения разных степеней. Методы упрощения......118 2.4.1. Простейшие полиномиальные уравнения......118 2.4.2. Линейные замены
основанные на симметрии......121 2.4.3. Метод разложения. Поиск рациональных корней......125 2.4.4. Применение теоремы о рациональных корнях к решению уравнений......128 2.4.5. Применение теоремы о корнях к числовым задачам......134 2.4.6. Разложение методом неопределенных коэффициентов......139 Упражнения......143 Задачи по комбинаторике......149 Глава 3. Рациональные алгебраические уравнения и неравенства......156 § 3.1. Рациональные алгебраические уравнения......156 3.1.1. Рациональные алгебраические выражения и задачи......156 3.1.2. Метод замены......158 3.1.3. Симметрические и кососимметрические уравнения......161 § 3.2. Рациональные алгебраические неравенства......164 3.2.1. Зачем бывает нужно решать неравенства?......164 3.2.2. Простейшие рациональные неравенства......165 3.2.3. Методы решения рациональных алгебраических неравенств......167 3.2.4. Сведение к системам неравенств......171 3.2.5. Метод интервалов......172 3.2.6. Метод замены......175 3.2.7. Неравенства с двумя переменными......176 3.2.8. Метод областей......180 Упражнения......182 Глава 4. Рациональные алгебраические системы......184 § 4.1. Уравнения с несколькими переменными......184 4.1.1. Решение уравнений с двумя переменными......184 4.1.2. Рациональные уравнения с двумя переменными......188 4.1.3. Однородные уравнения с двумя переменными......190 4.1.4. О симметрических многочленах от двух переменных......193 § 4.2. Решение систем. Метод подстановки. Однородные системы......194 4.2.1. Общий метод подстановки......196 4.2.2. Линейные подстановки......199 4.2.3. Однородные системы......201 4.2.4. Исключение переменных. Равносильные линейные преобразования......207 § 4.3. Решение систем: метод замены. Симметрические системы......210 4.3.1. Метод замены......211 4.3.2. Системы Виета......213 4.3.3. Общие симметрические системы......215 § 4.4. Решение систем: метод разложения. Частные методы и приемы......221 4.4.1. Решение систем методом разложения......221 4.4.2. Примечательный пример......223 4.4.3. Поучительный пример......225 4.4.4. Метод оценок......226 4.4.5. Метод итераций......229 4.4.6. Сведение уравнений к системам......232 4.4.7. Оценка значений переменных......235 § 4.5. Системы с тремя переменными......238 4.5.1. Метод подстановки......238 4.5.2. Метод замены......239 4.5.3. Использование однородности......240 4.5.4. Система Виета с тремя переменными......241 4.5.5. Симметрические системы......242 4.5.6. Метод разложения......245 Упражнения......248 Глава 5. Иррациональные алгебраические задачи......251 § 5.1. Уравнения с радикалами......251 5.1.1. Иррациональные алгебраические выражения......251 5.1.2. Уравнения с квадратными радикалами. Замена переменной......251 5.1.3. Неэквивалентные преобразования с проверкой......252 5.1.4. Метод эквивалентных преобразований......254 5.1.5. Сведение уравнений к системам......260 5.1.6. Освобождение от кубических радикалов......263 5.1.7. Использование монотонности......265 5.1.8. Использование однородности......267 § 5.2. Неравенства с радикалами......269 5.2.1. Почему неравенства с радикалами сложнее уравнений......269 5.2.2. Эквивалентные преобразования неравенств......271 5.2.3. Дробно-иррациональные неравенства......278 5.2.4. Метод интервалов при решении иррациональных неравенств......279 5.2.5. Замена при решении иррациональных неравенств......283 5.2.6. Использование монотонности при решении неравенств......284 5.2.7. Смешанные системы с двумя переменными......286 § 5.3. Уравнения и неравенства с модулями......289 5.3.1. Уравнения с модулями......289 5.3.2. Неравенства с модулями......292 5.3.3. Комбинированные задачи с модулями......295 Упражнения......299 Ответы и указания к упражнениям......302 Глава 1......302 Глава 2......303 Задачи по комбинаторике......305 Глава 3......308 Глава 4......309 Глава 5......311 Предметный указатель......314

Земляков А.Н.
Сотрудник Института общего образования РАО, автор учебников, учебных пособий по математике для средней школы.