В полном объеме изложен курс математического анализа и высшей математики, изучаемый в вузах по направлениям (специальностям) техники и технологии, включая теорию пределов, непрерывность функции, дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных, неопределенный и определенный интегралы, дифференциальные уравнения, ряды, кратные интегралы, теорию функций комплексного переменного и операционное исчисление. Изложение построено по модульному принципу, позволяющему варьировать объем и сложность освещения отдельных разделов с учетом задач подготовки специалистов и уровня знаний студентов. Методической основой учебного пособия является многолетний опыт преподавания математики в Московском техническом университете связи и информатики.br/Для студентов высших учебных заведений, получающих образование по направлению «Телекоммуникации». Может использоваться при подготовке кадров по широкому кругу направлений и специальностей в области техники и технологии, естественных наук и прикладной математики.

Предисловие......11 Условные обозначения......12 I. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ......13 1. МНОЖЕСТВО ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ......13 1.1. Определение действительного числа......13 1.2. Ограниченные множества действительных чисел......16 1.3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона......18 1.4. Функции......20 2. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ......21 2.1. Определение предела последовательности и предела функции......21 2.2. Бесконечно малые последовательности и функции и их свойства......27 2.3. Связь существования предела с бесконечно малыми. Основные теоремы о пределах......30 2.4. Некоторые теоремы о пределах последовательностей и функций......34 2.5. Некоторые замечательные пределы......38 2.6. Сравнение бесконечно малых......43 3. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ......43 3.1. Непрерывность функции в точке......43 3.2. Классификация точек разрыва......47 3.3. Непрерывность функции на множестве......49 3.4. Равномерная непрерывность функции......52 II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ......55 4. ПРОИЗВОДНАЯ......55 4.1. Определение
физический и геометрический смысл производной......55 4.2. Вычисление производной функции......57 4.3. Дифференцируемые функции. Дифференциал......64 4.4. Производные и дифференциалы высших порядков......68 4.5. Функции
заданные параметрически
и их производные......71 5. НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ......74 5.1. Теоремы о среднем......74 5.2. Правило Лопиталя......78 5.3. Формула Тейлора......86 6. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ......98 6.1. Возрастание и убывание функций......98 6.2. Экстремумы функции......100 6.3. Наибольшее и наименьшее значения функции
непрерывной на отрезке......106 6.4. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба......107 6.5. Асимптоты графика функции......111 6.6. Примерная схема общего исследования функции и построения ее графика......114 7. ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА......117 7.1. Определение векторной функции скалярного аргумента......117 7.2. Предел векторной функции скалярного аргумента......119 7.3. Непрерывность векторной функции скалярного аргумента......121 7.4. Производная векторной функции скалярного аргумента......121 III. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ......126 8. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
МНОГОЧЛЕНЫ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ......126 8.1. Комплексные числа......126 8.2. Тригонометрическая форма комплексного числа......129 8.3. Показательная форма комплексного числа......130 8.4. Многочлены......131 8.5. Рациональные функции......136 9. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ......142 9.1. Понятие неопределенного интеграла......142 9.2. Свойства неопределенного интеграла......143 9.3. Таблица основных интегралов......144 9.4. Замена переменной в неопределенном интеграле......148 9.5. Интегрирование по частям......150 9.6. Интегрирование рациональных дробей......153 9.7. Интегрирование некоторых иррациональных функций......156 9.8. Интегрирование тригонометрических функций......159 9.9. Интегрирование некоторых иррациональных выражений при помощи тригонометрических подстановок......162 10. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ......165 10.1. Понятие определенного интеграла......165 10.2. Свойства определенного интеграла......167 10.3. Существование определенного интеграла......170 10.4. Вычисление определенного интеграла......173 10.5. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле......175 10.6. Вычисление площадей плоских фигур......177 10.7. Длина дуги плоской кривой......182 10.8. Вычисление объемов тел......185 11. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ......188 11.1. Определение несобственного интеграла......188 11.2. Геометрический смысл
свойства и вычисление несобственных интегралов......189 11.3. Несобственные интегралы от неотрицательных функций......192 11.4. Несобственные интегралы от функций произвольного знака......195 11.5. Главное значение несобственного интеграла......200 IV. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ИНТЕГРАЛЫ
ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА......201 12. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ......201 12.1. Многомерные пространства......201 12.2. Определение
предел и непрерывность функции нескольких переменных......204 12.3. Частные производные. Дифференциал функции......207 12.4. Производные сложной функции......213 12.5. Частные производные и дифференциалы высших порядков......220 12.6. Формула Тейлора для функции нескольких переменных......226 12.7. Экстремумы функции нескольких переменных......230 12.8. Касательная плоскость и нормаль к поверхности......237 12.9. Производная по направлению. Градиент......240 13. ИНТЕГРАЛЫ
ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА......244 13.1. Собственные интегралы
зависящие от параметра......244 13.2. Несобственные интегралы
зависящие от параметра......246 13.3. Свойства несобственных интегралов
зависящих от параметра......248 13.4. Гамма-функция......252 V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ......258 14. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА И УРАВНЕНИЯ
ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА......258 14.1. Примеры задач
приводящих к дифференциальным уравнениям......258 14.2. Дифференциальные уравнения произвольного и первого порядков......260 14.3. Некоторые типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их решений......262 14.4. Дифференциальные уравнения высших порядков......277 14.5. Уравнения
допускающие понижение порядка......280 15. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ......283 15.1. Линейные однородные дифференциальные уравнения......283 15.2. Линейная зависимость и независимость функций......284 15.3. Структура общего решения линейного однородного уравнения......288 15.4. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами......290 15.5. Неоднородные линейные уравнения высших порядков......298 15.6. Неоднородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида......300 15.7. Метод вариации произвольных постоянных......307 VI. РЯДЫ......311 16. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ......311 16.1. Свойства сходящихся рядов......311 16.2. Ряды с неотрицательными членами......314 16.3. Ряды с членами произвольного знака......320 17. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ......325 17.1. Область сходимости функционального ряда......325 17.2. Равномерная сходимость функционального ряда......326 17.3. Свойства равномерно сходящихся рядов......328 17.4. Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда......332 17.5. Равномерная сходимость степенного ряда......336 17.6. Разложение функций в степенные ряды......340 17.7. Применение разложений в степенные ряды для решения дифференциальных уравнений......347 18. РЯДЫ ФУРЬЕ......354 18.1. Ортогональные и ортонормированные системы функций......354 18.2. Ряд Фурье по произвольной ортонормированной системе функций. Тригонометрический ряд Фурье для функций с периодом 2п......356 18.3. Тригонометрический ряд Фурье для функции с произвольным периодом 2/. Ряд Фурье в комплексной форме......363 18.4. Средняя квадратичная погрешность. Минимальное свойство коэффициентов Фурье......366 18.5. Интеграл Фурье......368 VII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ТЕОРИЯ ПОЛЯ......375 19. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ......375 19.1. Определение и свойства двойного интеграла......375 19.2. Вычисление двойного интеграла......380 19.3. Определение и свойства тройного интеграла......385 19.4. Вычисление тройного интеграла......388 19.5. Замена переменных в двойном интеграле......392 19.6. Двойной интеграл в полярных координатах......396 19.7. Замена переменных в тройном интеграле......399 20. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ......404 20.1. Криволинейный интеграл первого рода......404 20.2. Криволинейный интеграл второго рода......406 20.3. Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от формы пути интегрирования......412 21. ТЕОРИЯ ПОЛЯ......417 21.1. Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент......417 21.2. Векторное поле. Линейный интеграл и циркуляция векторного поля вдоль кривой......419 21.3. Поверхностный интеграл первого и второго рода......421 21.4. Формула Гаусса-Остроградского......428 21.5. Формулы Грина и Стокса......432 21.6. Оператор Гамильтона. Операции второго порядка......440 21.7. Специальные векторные поля......442 VIII. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО И ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ......446 22. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО......446 22.1. Определение и некоторые элементарные функции комплексного переменного......446 22.2. Предел и непрерывность функции комплексного переменного......450 22.3. Производная функции комплексного переменного......454 22.4. Интеграл от функции комплексного переменного......457 22.5. Интегральная теорема Коши......463 22.6. Интегральная формула Коши......466 22.7. Краткие сведения о рядах с комплексными членами......473 22.8. Ряд Тейлора......475 22.9. Ряд Лорана......478 22.10. Классификация изолированных особых точек......485 22.11. Вычеты и их нахождение......489 22.12. Основная теорема о вычетах......492 22.13. Вычисление некоторых интегралов от функций действительного переменного......494 23. ОСНОВЫ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ......501 23.1. Оригинал и его изображение......501 23.2. Свойства преобразования Лапласа......506 23.3. Нахождение оригиналов по изображениям......514 23.4. Решение дифференциальных уравнений и систем операционным методом......518 23.5. Применение теоремы запаздывания для нахождения изображений различных функций......521