Часть I......9 Введение......10 Раздел I. Теория последовательностей и функций одной переменной......11 1.1. Множество вещественных чисел......11 1.2. Ограниченные и неограниченные множества вещественных чисел......12 1.3. Некоторые конкретные числовые множества......14 1.4. Понятие числовой последовательности......15 1.5. Бесконечно большие и бесконечно малые числовые последовательности......16 1.6. Сходящиеся числовые последовательности. Предел числовой последовательности......19 1.7. Основные свойства сходящихся числовых последовательностей......20 1.8. Монотонные числовые последовательности......22 1.9. Число е......23 1.10. Предельный переход в неравенствах......24 1.11. Подпоследовательности числовых последовательностей......25 1.12. Функция одной переменной......25 1.13. Предел функции......27 1.14. Бесконечно большие и бесконечно малые функции......29 1.15. Свойства функций
имеющих предел......31 1.16. Замечательные пределы......31 1.17. Сравнение бесконечно малых функций......33 1.18. Непрерывность функций в точке......34 1.19. Классификация точек разрыва......35 1.20. Определение непрерывности функции в точке с использованием понятия приращения функции......36 1.21. Арифметические действия над непрерывными функциями......36 1.22. Непрерывность сложной функции......37 1.23. Свойства функций
непрерывных на сегменте......37 Примеры......39 Тест 1......45 Раздел II. Дифференциальное исчисление функции одной переменной......47 2.1. Определение производной функции первого порядка......47 2.2. Геометрический смысл производной......47 2.3. Дифференцируемость функции. Дифференциал функции и его геометрический смысл......48 2.4. Правила вычисления производных
связанных с арифметическими действиями над функциями......51 2.5. Производные элементарных функций. Производная обратной функции......52 2.6. Правила дифференцирования сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала......54 2.7. Дифференцирование степенно-показательной функции и функций
заданных параметрически и в неявном виде......55 2.8. Производные и дифференциалы высших порядков......56 2.9. Возрастание (убывание) функции в точке. Локальный экстремум. Теорема о нуле производной (теорема Ролля)......58 2.10. Формула конечных приращений (теорема Лагранжа). Обобщенная формула конечных приращений (теорема Коши)......61 2.11. Раскрытие неопределенностей (правила Лопиталя)......62 2.12. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Шлемильха-Роша
Лагранжа
Коши и Пеано......65 2.13. Формула Маклорена. Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций......66 2.14. Интервалы монотонности и точки экстремума функции......68 2.15. Направление выпуклости графика функции. Точки перегиба......69 2.16. Асимптоты графика функции. Схема исследования функции и построение ее графика......71 Примеры......73 Тест 2......78 Раздел III. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных......80 3.1. Определение m-мерного евклидова пространства и области......80 3.2. Предел функции нескольких переменных......80 3.3. Непрерывность функций нескольких переменных......83 3.4. Частные производные функций нескольких переменных первого и высших порядков......83 3.5. Дифференцируемость и дифференциал функции нескольких переменных......86 3.6. Производная функции нескольких переменных по направлению. Градиент. Касательная плоскость и нормаль к поверхности......88 3.7. Дифференциалы высших порядков функции нескольких переменных......90 3.8. Формула Тейлора для функции нескольких переменных......91 3.9. Локальный экстремум функции нескольких переменных......92 3.10. Условный экстремум функции нескольких переменных......93 Примеры......96 Тест 3......99 Раздел IV. Неопределенный интеграл......102 4.1. Определение неопределенного интеграла......102 4.2. Основные правила интегрирования......103 4.3. Интегрирование заменой переменной......104 4.4. Интегрирование по частям. Применение этого метода при вычислении некоторых важных интегралов......106 4.5.Интегрирование дробно-рациональных функций. Метод Лагранжа......110 4.6.Интегрирование тригонометрических выражений......115 4.7. Интегрирование дробно-линейных иррациональностей и дифференциальных биномов......116 4.8.Интегрирование квадратичных иррациональностей. Подстановки Эйлера......118 Примеры......121 Тест 4......125 Раздел V. Определенный интеграл и его применение......128 5.1. Определение определенного интеграла......128 5.2. Верхняя и нижняя интегральные суммы Дарбу и их свойства......129 5.3. Интегрируемость функций. Свойства определенного интеграла. Формула среднего значения определенного интеграла......130 5.4. Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница......133 5.5. Вычисление длин дуг плоских кривых......135 5.6. Вычисление площадей плоских фигур......137 5.7. Вычисление площадей поверхностей и объемов тел вращения......140 Примеры......142 Тест 5......145 Итоговый тест......148 Часть II......155 Введение......156 Раздел I. Несобственные интегралы......157 1.1. Несобственные интегралы первого рода и их вычисление......157 1.2. Несобственные интегралы второго рода и их вычисление......161 Примеры......162 Тест 1......166 Раздел II. Двойные интегралы......167 2.1. Определение двойного интеграла......167 2.2. Сведение двойного интеграла к повторному......168 2.3. Вычисление двойного интеграла в полярной и других системах координат. Якобиан перехода......170 2.4. Применение двойных интегралов......173 Примеры......175 Тест 2......177 Раздел III. Тройные интегралы......178 3.1. Определение тройного интеграла и его применение......178 3.2. Сведение тройного интеграла к повторному......179 3.3. Замена переменных в тройном интеграле. Вычисление тройных интегралов в сферической и цилиндрической системах координат......180 Примеры......182 Тест 3......185 Раздел IV. Криволинейные интегралы......187 4.1. Определение криволинейных интегралов первого и второго родов и их вычисление......187 4.2. Формула Грина......190 Примеры......191 Тест 4......193 Раздел V. Элементы теории поля......195 5.1. Поверхностные интегралы первого и второго родов......195 5.2. Формула Гаусса-Остроградского......198 5.3. Формула Стокса......201 Примеры......203 Тест 5......206 Раздел VI. Числовые и функциональные ряды......208 6.1. Ряд и его частичные суммы. Сходящиеся и расходящиеся ряды......208 6.2. Примеры числовых рядов......211 6.3. Числовые ряды с положительными членами. Достаточные признаки сходимости......212 6.4. Числовые ряды с произвольными членами. Достаточные признаки сходимости......218 6.5. Функциональные ряды. Равномерная сходимость функциональных рядов......223 6.6. Степенные ряды. Радиус сходимости......229 6.7. Ряды Тейлора......232 Примеры......234 Тест 6......239 Раздел VII. Ряды Фурье......241 7.1. Периодические функции. Ряд Фурье......241 7.2. Ортогональность системы функций: 1
cos x
cos 2x
…
cos nx
…
sin x
sin 2x
sin nx
… Вычисление коэффициентов Фурье......242 7.3. Теоремы Римана и Дирихле......244 7.4. Ряд Фурье для четных и нечетных функций......245 7.5. Комплексная форма ряда Фурье......246 Примеры......247 Тест 7......250 Итоговый тест......253 Литература......257 Руководство по изучению дисциплины......259 Сведения об авторах.......260 4. Перечень основных тем......261 4.1. Тема 1. Числовые последовательности и их сходимость. Предел числовой последовательности. Число e......261 4.2. Тема 2. Функции одной переменной. Предел функции. Первый и второй замечательные пределы. Сравнение бесконечно малых функций......262 4.3. Тема 3. Непрерывность и разрывность функции в точке. Классификация точек разрыва. Свойства непрерывных функций......264 4.4. Тема 4. Производная и дифференциал функции одной переменной. Правила вычисления производных элементарных функций. Производная и дифференциалы высших порядков......265 4.5. Тема 5. Свойства дифференцируемых функций. Формула конечных приращений. Раскрытие неопределенностей с помощью правил Лопиталя. Разложение функций по формулам Тейлора и Маклорена......267 4.6. Тема 6. Экстремумы функции. Возрастание и убывание функции. Точки перегиба. Асимптоты графика функции. Схема исследования функции и построение ее графика......269 4.7. Тема 7. Частные производные и дифференциалы функции нескольких переменных первого и высших порядков. Градиент......270 4.8. Тема 8. Формула Тейлора для функции двух переменных. Локальный и условный экстремумы функции двух переменных......271 4.9. Тема 9. Неопределенный интеграл и его вычисление.......272 4.10. Тема 10. Определенный интеграл и его применение......273 4.11. Тема 11. Несобственные интегралы и их вычисление......275 4.12. Тема 12. Двойной интеграл и его вычисление......276 4.13. Тема 13. Тройной интеграл и его вычисление. Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах. Применение тройного интеграла для вычисления объемов пространственных тел......278 4.14. Тема 14. Криволинейные интегралы первого и второго родов и их вычисление. Формула Грина......279 4.15. Тема 15. Поверхностные интегралы первого и второго родов и их вычисление. Элементы теории поля......281 4.16. Тема 16.Числовые ряды с положительными членами. Необходимое условие сходимости ряда. Достаточные признаки сходимости числовых рядов с положительными членами......283 4.17. Тема 17.Числовые ряды с произвольными членами. Абсолютно и условно сходящиеся числовые ряды. Знакочередующиеся числовые ряды. Достаточный признак Лейбница сходимости знакочередующихся числовых рядов......285 4.18. Тема 18. Функциональные ряды и их область сходимости. Равномерная сходимость функциональных рядов. Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов......286 4.19. Тема 19. Степенные ряды. Радиус и область сходимости степенных рядов. Разложение элементарных функций в степенные ряды Тейлора......287 4.20. Тема 20. Ряды Фурье. Коэффициенты Фурье. Ряды Фурье для четных и нечетных функций. Комплексная форма ряда Фурье......289 Сборник задач......291 Раздел I. Теория последовательностей и функций одной переменной......292 Примеры......292 Ответы......295 Раздел II. Дифференциальное исчисление функции одной переменной......296 Примеры......296 Ответы......298 Раздел III. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных......300 Примеры......300 Ответы......301 Раздел IV. Неопределенный интеграл......303 Примеры......303 Ответы......304 Раздел V. Определенный интеграл и его применение......306 Примеры......306 Ответы......308 Раздел VI. Несобственные интегралы......310 Примеры......310 Ответы......312 Раздел VII. Двойные интегралы......313 Примеры......313 Ответы......316 Раздел VIII. Тройные интегралы......317 Примеры......317 Ответы......319 Раздел IX. Криволинейные интегралы......320 Примеры......320 Ответы......323 Раздел X. Элементы теории поля......324 Примеры......324 Ответы......327 Раздел XI. Числовые и функциональные ряды......328 Примеры......328 Ответы......332 Раздел XII. Ряды Фурье......335 Примеры......335 Ответы......336 Учебная программа......338